2025　関西学院大学　神,社会,経済,国際,教育学部2月4日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四面体$\mathrm{PABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=3\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAC}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．また，点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に引いた垂線と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．直線$\mathrm{AC}$を軸として点$\mathrm{H}$を$135\mathrm{°}$回転させると，点$\mathrm{H}$は点$\mathrm{P}$に一致するとする．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ア}$である．また，線分$\mathrm{AH}$の長さは$\text{イ}$である．

(ⅱ)　四面体$\mathrm{PABC}$の体積は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　赤玉$2$個，白玉$3$個，黒玉$1$個の合計$6$個の玉を横一列に並べて，$X$を次のように定める．

　$2$個の赤玉の間にある白玉の個数を$X$とする．ただし，$2$個の赤玉の間に黒玉があった場合は，$2$個の赤玉の間に白玉が何個あっても$X=0$とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$X=3$である確率は$\text{エ}$であり，$X=2$である確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$X=0$である確率は$\text{カ}$である．また，$X=0$であったとき黒玉が$2$個の赤玉の間にある条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　座標平面上の直線$y=-x+2$を放物線$l\text{，}$$y=-x^2$$+4x+1$を$C$とする．直線$l$と放物線$C$の共有点の$x$座標のうち，小さい方の$x$座標は$\text{ア}$である．また，直線$l$と放物線$C$で囲まれた領域（境界線を含む）を$D$とする．点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x+1}}$の最大値は$\text{イ}$であり，最小値は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　公比が正の数である等比数列$\{a_n\}$について，初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_2={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$S_4={\displaystyle \frac{15}{2}}$を満たしているとする．また，等差数列$\{b_n\}$があり，$b_2=a_3\text{，}$$b_4=a_2+a_4$を満たしているとする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{エ}\text{，}$数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{オ}$である．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}\text{，}$数列$\{b_n\}$に共通に含まれる項を小さい順に並べてできる数列を$\{c_n\}$とする．$c_3=\text{カ}$である．また，${\displaystyle \sum _{k=3}^{10}}\sqrt{c_k}=\text{キ}$である．

【３】　$a$を実数とする．関数$f(x)\text{，}$$g(x)$について，

$f(x)=3x^2$$+a$$+{\displaystyle {\int }_1^e}g(t)\mathit{dt}\text{，}$$g(x)=3x^2-{\displaystyle \frac{1}{8}}{\displaystyle {\int }_{-4}^0}f(t)\mathit{dt}$

が成り立ち，$f(1)=0$を満たしているとする．また，$b=-{\displaystyle {\int }_{-4}^0}f(t)\mathit{dt}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$を$x\text{，}$$b$を用いて表し，$b$の値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が極値をとるときの$x$の値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積の和を求めよ．