2025　関西学院大学　理系全学日程2月2日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y=\sqrt{x+1}$のグラフと直線$y=-x+5$の共有点の$x$座標は$\text{ア}$であり，不等式$\sqrt{x+1}$$<-x+5$を満たす$x$の値の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　ある等差数列の初項から第$10$項までの和は$215\text{，}$第$11$項から第$20$項までの和は$515$であるという．この等差数列の初項は$\text{ウ}$で，公差は$\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　$\theta$が鋭角で，$\sin \theta ={\displaystyle \frac{2}{3}}$であるとき，$\cos 2\theta =\text{オ}\text{，}$$\tan 2\theta =\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(4)　$a\text{，}$$b$は実数とする．$4$次方程式$x^4+a{x}^3$$+b{x}^2$$-(2a+b+3)x$$+a=0$が$x-2i$を解にもつとき，定数$a\text{，}$$b$の値は$a=\text{キ}\text{，}$$b=\text{ク}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　$1$から$6$までの数が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚ある．この$6$枚のカードを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$つの箱に分けて入れる．ただし，入れる順序は区別しない．

(1)　カードを$1$枚も入れない箱があっても良いとする．

・カードの分け方は全部で$\text{ア}$通りある．

・箱$\mathrm{A}$と箱$\mathrm{B}$に$1$枚ずつ入れ，箱$\mathrm{C}$に$4$枚入れる分け方は$\text{イ}$通りある．

・箱$\mathrm{A}$に$1$枚，箱$\mathrm{B}$に$2$枚，箱$\mathrm{C}$に$3$枚入れる分け方は$\text{ウ}$通りある．

・どの箱にも$2$枚ずつ入れる分け方は$\text{エ}$通りある．

・カードを入れない箱が$1$つだけある分け方は$\text{オ}$通りある．

(2)　どの箱にも$2$枚ずつカードを入れるとする．

・箱$\mathrm{C}$には$4$以上の数が記されたカードだけを入れる分け方は$\text{カ}$通りある．

・どの箱についても$2$枚のカードに記されている数の和が$8$以下になる分け方は$\text{キ}$通りある．また，どの箱についても$2$枚のカードに記されている数の和が$9$以下になる分け方は$\text{ク}$通りある．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標平面上で，方程式$x^2+y^2$$-2x$$-4y$$+1=0$が表す円を$C$とし，円$C$とその内部を合わせた領域を$D$とする．また，定数$t$に対して，$2$点$\mathrm{A}(t,2t)\text{，}$$\mathrm{B}(t+1,2t-2)$を通る直線を$l$とする．

(1)　円$C$の中心の座標は$\text{ア}$であり，半径は$\text{イ}$である．

(2)　直線$l$の方程式は$y=\text{ウ}$である．

(3)　点$\mathrm{B}$が領域$D$内にあるとき，定数$t$のとりうる値の範囲は$\text{エ}\leqq t\leqq \text{オ}$であり，線分$\mathrm{AB}$が領域$D$内にあるとき，定数$t$のとりうる値の範囲は$\text{エ}\leqq t\leqq \text{カ}$である．

(4)　直線$l$と円$C$が線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$で接するとき，点$\mathrm{P}$の座標は$(\text{キ},\text{ク})$である．

【４】　$a$は実数とし，$f(x)=\log x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{e}{2}}{x}^2+a$と曲線$C_1\text{：}y=f(x)\text{，}$曲線$C_2\text{：}y=g(x)$を考える．ここで，$e$は自然対数の底である．また，曲線$C_1$上の点$(t,f(t))$における接線を$l\text{，}$曲線$C_2$上の点$(t,g(t))$における接線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$と直線$m$が一致するとき，$t$と$a$の値を求めよ．

(3)　$t$が(2)で求めた値をとるとき，曲線$C_1\text{，}$直線$l$と$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　$D$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．