2025　関西学院大学　文,法,商,人間福祉,総合政策学部2月3日実施MathJax

(1)　$a$を実数とし，$x$の$2$次関数を$f(x)=2x^2$$+4ax$$+3a-2$とする．$0\leqq x\leqq 4$における$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．

(ⅰ)　$a=-1$のとき，$M-m=\text{ア}$である．

(ⅱ)　$M=f(0)$であるとする．このとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．さらに，$M-m=36$であるとき，$a=\text{ウ}$である．

(2)　袋の中に$1$から$8$までの自然数が$1$つずつ書かれた玉が合計$8$個入っている．この袋から$3$個の玉を同時に取り出し，袋の中に残った$5$個の玉に書かれた自然数の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$M=5$である確率は$\text{エ}$である．また，$M-m=6$である確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$m$が奇数である確率は$\text{カ}$である．また，$M$が$m$の倍数である確率は$\text{キ}$である．

(1)　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$1$の球に外接する直円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$があり，底面の半径を$r\text{，}$高さを$h$とする．この直円錐の頂点を$\mathrm{A}$とし，底面の円周上の点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC}$が直径となるようにとる．また，$\mathrm{\angle OBC}=\theta \text{，}$$t=\tan \theta$とおく．

(ⅰ)　$r\text{，}$$h$を$t$を用いて表すと，$r=\text{ア}\text{，}$$h=\text{イ}$である．

(ⅱ)　この直円錐の体積を$V$とする．このとき，$V$の最小値は$\text{ウ}$であり，そのときの$t$の値は$t=\text{エ}$である．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$において辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{OM}={\displaystyle \frac{2}{7}}$とする．また，線分$\mathrm{OM}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{カ}\overrightarrow{a}$である．また，四角形$\mathrm{AMCD}$の面積は$\text{キ}$である．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$が放物線$C_2$にも接しているとき，$t$の値を求めよ．また，このとき，$2$つの放物線$C_1\text{，}$$C_2$および直線$l$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積$S$を求めよ．

(3)　直線$y=-x-4$を$m$とし，(2)で求めた$D$が直線$m$により分けられた$2$つの部分のうち，直線$m$の下側の部分の面積$T$を求めよ．