2025　関西学院大学　文系学部全学日程2月2日実施MathJax

(1)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=4$とする．また，$\mathrm{▵ABC}$の外接円を$\mathrm{O}$とし，円$\mathrm{O}$上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}$が円$\mathrm{O}$の直径になるようにとる．

(ⅰ)　$\cos \mathrm{\angle BAC}=\text{ア}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{イ}$である．線分$\mathrm{AD}$の長さは$\text{ウ}$である．

(ⅱ)　円$\mathrm{O}$上に，$\mathrm{AC}=\mathrm{AE}$となる点$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{E}$をとるとき，線分$\mathrm{CE}$の長さは$\text{エ}$である．

(2)　袋の中に$0\text{，}$$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5$の$7$枚のカードが入っている．この袋から同時に$3$枚のカードを取り出し，記されている数の和を$X$とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$X=1$である確率は$\text{オ}$である．また，$X$が奇数である確率は$\text{カ}$である．

(ⅱ)　$X$が偶数であったとき，$X\geqq 6$である条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$x$の方程式$x^3+ax+b=0$は実数解$x=-2\text{，}$$p\text{，}$$q$をもつとする．

(ⅰ)　$b$を$a$を用いて表すと，$b=\text{ア}$である．また，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$p\text{，}$$q$がともに正であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

(ⅲ)　$\left|p\right|+\left|q\right|=3$であるとき，$a=\text{エ}$である．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(3,0,0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{d}=(-1,1,1)$に平行な直線を$l$とし，直線$l$上の点で，原点からの距離が最小となる点を$\mathrm{H}$とする．

(ⅰ)　点$\mathrm{H}$の座標は$\text{オ}$である．ただし，$\text{オ}$は$(p,q,r)$の形で答えよ．

(ⅱ)　$b$を正の実数とする．$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{B}(0,0,b)$を直径の両端とする球面上に点$\mathrm{H}$があるとき，$b=\text{カ}$である．このとき，$\mathrm{▵ABH}$の面積は$\text{キ}$である．

(1)　$r\text{，}$$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-2}^{\sqrt{3}}}(a{x}^2+b)\mathit{dx}$の値を求めよ．

(4)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\leqq \sqrt{3}\\ y\leqq 0\\ y\geqq a{x}^2+b\\ {(x-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2+y^2\geqq r^2\end{array}$

の表す領域の面積$S$を求めよ．