2025　関西学院大学　文系学部全学日程2月1日実施MathJax

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，座標平面上の放物線$y=x^2$$+2ax$$+2a^2$$+4a-4$を$C$とする．放物線$C$は$x$軸と異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっているとする．

(ⅰ)　$a$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$である．また，放物線$C$がすべての象限を通るような$a$の値の範囲の中で，最小となる整数$a$の値は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標がともに$1$以上であるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．このとき，$\mathrm{AB}=4$となるような$a$の値は，$a=\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$3$個のさいころを同時に投げて，出た目の数の最大値を$M$とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$M=2$である確率は$\text{オ}$である．また，$M=4$である確率は$\text{カ}$である．

(ⅱ)　$M=4$であったとき，少なくとも$1$個のさいころに$1$の目が出る条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$m$を正の実数とする．座標平面上の円$x^2+y^2$$+2x$$-3=0$を$C\text{，}$点$\mathrm{A}(3,0)$を通る傾き$m$の直線を$l$とする．また，円$C$と直線$l$は点$\mathrm{B}$で接しているとする．

(ⅰ)　$m=\text{ア}$である．また，点$\mathrm{B}$の座標は$\text{イ}$である．ただし，$\text{イ}$は$(p,q)$の形で答えよ．

(ⅱ)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\leqq 0\\ y\geqq mx-3m\\ x^2+y^2+2x-3\geqq 0\end{array}$

の表す領域を$D$とする．領域$D$の面積は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　等差数列$\{a_n\}$は，$a_2=37\text{，}$$a_1+a_2$$+a_3$$+\cdots$$+a_{50}=-500$を満たすとする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{エ}$であり，$\left|a_1\right|+\left|a_2\right|$$+\left|a_3\right|$$+\cdots$$+\left|a_{50}\right|$$=\text{オ}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_{2k}=\text{カ}$であり，${\displaystyle \sum _{k=1}^{25}}{a}_{2k-1}$$-2{\displaystyle \sum _{k=1}^{25}}{a}_{2k}=\text{キ}$である．

【３】　$p$を$-3<p<0$を満たす実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の放物線$y=-x^2-2x$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(p,-p^2-2p)$とする．また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{OP}$および接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C$と直線$\mathrm{OP}$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$p$を用いて表せ．

(3)　$S$を(2)で求めたものとし，放物線$C\text{，}$接線$l$および直線$x=-3$で囲まれた部分の面積を$T$とする．$p$が$-3<p<0$の範囲で変化するとき，$S+T$が最小となる$p$の値を求めよ．