2025　関西大学　総合情報学部2月4日実施MathJax

$y=x^2-12x+21\text{，}$$y=-4x^2+8x-4$

のいずれとも共有点の個数が$0$または$1$となるような$a\text{，}$$b$を座標とする点$\mathrm{P}(a,b)$のなす集合を$D$とする．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(a,b)$が$D$を動くとき，$b-4a^2$のとりうる値の範囲を決定せよ．

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{n+2}{n}}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=8\text{，}$$b_{n+1}=b_n+2^{n+2}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n\text{，}$$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$I_n=\{x|a_n\leqq x\leqq b_n\}$とするとき，すべての自然数$n$に対して$I_n\cap I_{n+1}$は空集合ではないことを示せ．

(1)　$3$で割り切れる数の個数は$\text{①}$で，それらの数の総和は$\text{②}$である．

(2)　$3$で割ると$2$余り，かつ，$5$で割ると$3$余る数の個数は$\text{③}$である．

(3)　$100$と互いに素となる数の個数は$\text{④}$である．

(4)　$2$進数にしたときの桁数が$4$桁または$5$桁となる数の個数は$\text{⑤}$で，それらの数の総和は$\text{⑥}$である．

　$3$次方程式$x^3-3x^2$$+px$$+q=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$とすれば，恒等式

$x^3-3x^2$$+px$$+q$$=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

が成り立つから$\alpha +\beta +\gamma$$=\text{①}\text{，}$$\alpha \beta$$+\beta \gamma$$+\gamma \alpha$$=\text{②}\text{，}$$\alpha \beta \gamma =\text{③}$である．

$S_n={\alpha }^n$$+{\beta }^n+{\gamma }^n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，$S_2$と$S_3$を$p\text{，}$$q$の式で表せば，それぞれ$S_2=\text{④}\text{，}$$S_3=\text{⑤}$となる．また，$S_2=21$かつ$S_4=273$のとき，$p=\text{⑥}\text{，}$$q=\text{⑦}$であり，$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\text{⑧}$である．ただし，$\alpha <\beta <\gamma$とする．