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2025-14991-1201
2025 関西大学 全学日程総合情報学部
2月6日実施
易□ 並□ 難□
【１】 一辺の長さが 1 の正六角形 ABCDEF において，線分 CD を t:1- t に内分する点を M とする （0<t <1）． AB→=b →， AF→=f → とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) AC→ と AD→ を b→ ， f→ で表せ．
(2) AM→ を b→ ， f→， t で表せ．
(3) 点 B から直線 AM へ引いた垂線と直線 AM との交点を P とする． AP→ を b→ ， f→， t で表せ．
(4) (3)の P に対して AP:PM= 5:9 が成り立つとき， t の値を求めよ．
2025-14991-1202
【２】 辺 AB， AD， AE の長さがそれぞれ xcm ， ycm ， zcm の直方体 ABCD‐EFGH において，その表面積が 14 cm2 で対角線 AG の長さが 11 cm であるとき，次の問いに答えよ．
(1) y+z と yz を x を用いて表せ．
(2) (1)のとき， x のとりうる値の範囲を求めよ．
(3) 直方体 ABCD‐EFGH の体積の最大値を求めよ．また，体積が最大になるときの (x,y ,z) をすべて求めよ．
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【３】 容器 A には濃度 8% の食塩水が 200g ， 容器 B には濃度 20% の食塩水が 100g 入っている．
容器 B から食塩水を 40g 取り出して容器 A に入れ，よくかき混ぜる．次に，容器 A から食塩水を 40g 取り出して容器 B に入れ，よくかき混ぜる．この一連の操作を n 回行った後の容器 A と容器 B の食塩水の濃度をそれぞれ an %， bn % とする．
次の をうめよ．
a1= ① ， b1= ② であり， an+1 と bn+1 を an ， bn を用いて表すと
an+1= ③ an+ ④ bn， bn+1= ⑤ an+ ⑥ bn
となる．したがって， bn-an< 1100 が成り立つような最小の自然数 n は n= ⑦ である．
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【４】 k を正の定数として
f(x) =x3 -6k x2 +9k 2x-3 k3
とおく．次の を k の式でうめよ．
3 次関数 f( x) は x= ① のとき極大値 ② をとり， x= ③ のとき極小値 ④ をとる．したがって， 3 次方程式 f( x)=0 は 3 つの異なる実数解をもつが，それらを小さい順に α， β， γ とすれば， 0<α< ① <β < ③ <γ が成り立つ．また，恒等式 x3- 6kx2 +9k 2x -3k 3 =(x-α )(x- β)(x -γ) が成り立つので， α+β+γ = ⑤ ， αβ+β γ+γα = ⑥ である．
α， β， γ を用いて，空間内に 3 点
A( α,β,γ )， B( β,γ,α )， C( γ,α,β)
を定めるとき，ベクトル AB→ ， AC→ の内積は AB→⋅ AC→= ⑦ であり， ▵ABC の面積は ⑧ である．
