2025　関西大学　全学日程文系2月7日実施MathJax

　$\alpha ={\displaystyle \frac{3+\sqrt{17}}{2}}$とし，$\beta =-{\displaystyle \frac{2}{\alpha }}$とおく．$\beta$の分母を有理化すると$\beta =\text{①}$となり，$\alpha \text{，}$$\beta$は$x$についての$2$次方程式$\text{②}=0$の異なる$2$つの実数解である．ここで，$\text{②}$は$\alpha \text{，}$$\beta$を含まない$x$の$2$次式とする．

　一般項が

$a_n={\displaystyle \frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\sqrt{17}}}$

で表される数列$\{a_n\}$について，$a_2=\text{③}\text{，}$$a_3=\text{④}$となる．また，数列$\{a_n\}$は漸化式

$a_{n+2}=\text{⑤}{a}_{n-1}$$+\text{⑥}{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$

を満たす．

$|x^2-2x-a^2-2a|$$=-2x+k$$\cdots$(＊)

の異なる実数解の個数を調べる．次の$$をうめよ．

　$2$次不等式$x^2-2x$$-a^2$$-2a\geqq 0$の解は

$x\leqq \text{①}\text{，}$$\text{②}\leqq x$$\cdots$(＊＊)

であり，$2$次不等式$x^2-2x$$-a^2$$-2a<0$の解は

$\text{①}<x$$<\text{②}$$\cdots$(＊＊＊)

である．

　(＊＊)のとき，(＊)は$k=\text{③}$と変形される．また，(＊＊＊)のとき，(＊)は$k=\text{④}$と変形される．ただし，$\text{③}\text{，}$$\text{④}$は$x$の$2$次式とする．

　したがって，(＊)が異なる実数解を$2$個もつような$k$の値の範囲は

$\text{⑤}<k<\text{⑥}\text{，}$$\text{⑦}<k$

である．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$t$を用いて表せ．

　以下，$\mathrm{▵OAB}$は正三角形であるとする．

(2)　$t$の値を求めよ．

(3)　$2$次関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフが$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通るとする．このとき，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　(3)の放物線と直線$\mathrm{OA}$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．