2025　関西大学　全学日程共通テスト利用理系2月7日実施MathJax

(1)　$0$とは異なる複素数$z=x+yi$を考える．ただし，$x\text{，}$$y$は実数とし，$i$は虚数単位とする．$z+{\displaystyle \frac{2}{z}}$が実数となるような点$(x,y)$の軌跡を解答欄の座標平面上に図示せよ．

(2)　$z$が$0$でない実数全体を動くとき，$z+{\displaystyle \frac{2}{z}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$z$が，$z+{\displaystyle \frac{2}{z}}$が実数となるような虚数全体を動くとき，$z+{\displaystyle \frac{2}{z}}$のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)　関数$f(x)=\cos 2x-\cos x$を考える．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における$f(x)$の最大値は$\text{①}\text{，}$最小値は$\text{②}$である．$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる$a$に対して，$f(a)=\text{②}$を満たすとき，$\sin a=\text{③}$である．さらに，定積分${\displaystyle {\int }_0^a}f(x)\mathit{dx}$の値は$\text{④}$である．

(2)　$k$を定数とする．曲線

$y=\cos 2x$$+k\cos x+2$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

と$x$軸との共有点が$2$つであるような$k$の値の範囲は$\text{⑤}$であり，共有点が$1$つであるのは，$k=\text{⑥}$または$k<\text{⑦}$のときである．

【３】　座標空間において四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$s\text{，}$$t$を$0<s<1\text{，}$$0<t<1$となる定数とし，点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$を，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OS}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

を満たすようにとる．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$および$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$s\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が平面$\mathrm{QRS}$上にあるとき，

$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=p\overrightarrow{\mathrm{PS}}+q\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

となる実数$p\text{，}$$q$がある．このとき，$p\text{，}$$q$を$s$と$t$のうち，一方または両方を用いた式でそれぞれ表せ．さらに，$s+t$は定数であることを示し，その値を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$を一辺の長さ$1$の正四面体とする．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．また，$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が同一平面上にあるとき，四面体$\mathrm{OQBR}$の体積を$s$を用いて表せ．

${\log }_a(x^2-1)$$+{\log }_{\frac{1}{a}}(x+1)$$>{\log }_a(15-2x)$

の解は$\text{①}$である．

$z_1=1\text{，}$$z_{n+1}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{3}i)z_n$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{3}i)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる複素数の数列$\{z_n\}$を考える．このとき，

$z_{n+1}-\alpha$$={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\sqrt{3}i)(z_n-\alpha )$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となる$\alpha$の値を求めると，$\alpha =\text{⑤}$である．また，$z_{2025}=\text{⑥}$である．ただし，$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$はともに数値で答えよ．