2025　関西大学　全学日程理系2月5日実施MathJax

【１】　座標平面上に$x>0$で定義される$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{，}$$g(x)＝{\displaystyle \frac{1}{x}}$があり，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標を$\alpha$とする．ただし，対数は自然対数とする．以下，必要ならば$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=0$を用いてよい．

(1)　$f(x)$の増減を調べて，$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$\alpha$の値を求めよ．また，$C_1$と$C_2$の概形を解答欄の座標平面上に描け．

(3)　$s>\alpha$とし，直線$x=s$と$C_1\text{，}$$C_2$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

(4)　$t>0$とする．$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=t$で囲まれる図形の面積が$2$となるような$t$の値を求めよ．

【２】　図のように，次の$2$つの規則(A)(B)に従って自然数が並んでいる．

規則(A)　$1$行目は初項$1\text{，}$公差$3$の等差数列が，初項から並んでいる．

規則(B)　$2$行目以降の行は，$1$つ上の行の各数を$3$倍した数が並んでいる．

また，各行に対して，左から順に$1$列目，$2$列目，$\cdots$とする．例えば，$2$行目かつ$3$列目の数は$21$である．$l\text{，}$$m\text{，}$$n$を自然数として，次の$$をうめよ．

(1)　$m$行目かつ$n$列目の数を$m\text{，}$$n$を用いて表すと，$\text{①}$である．また，$19521$は$\text{②}$行目かつ$\text{③}$列目の数である．

(2)　$1$行目の数の中で$3^l$より小さいものの個数を$l$を用いて表すと，$\text{④}$である．また，$2$行目以降も同様に考えて，図に現れる自然数で$3^l$より小さいものの総数を$a_l$と表す．$a_l$を$l$を用いて表すと，$a_l=\text{⑤}$である．

(3)　(2)で求めた$a_l$に対して，${\displaystyle \frac{1}{a_l{a}_{l+1}}}$$=\text{⑥}({\displaystyle \frac{1}{a_l}}-{\displaystyle \frac{1}{a_{l+1}}})$が成り立つ．また，和${\displaystyle \sum _{k=1}^l}{\displaystyle \frac{3^k}{a_k{a}_{k+1}}}$を$l$を用いて表すと，$\text{⑦}$である．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{OC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=60\mathrm{°}$

を満たしている．点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を引き，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p\overrightarrow{b}+q\overrightarrow{c}$$\text{（}p\text{，}$$q$は実数）と表すとき，$p\text{，}$$q$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．また，$\mathrm{\angle BOH}=\mathrm{\angle COH}$が成り立つことを示せ．

(4)　直線$\mathrm{OH}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{OH}:\mathrm{OM}$を求めよ．また，四面体$\mathrm{ABCH}$の体積$V$を求めよ．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$a$は正の定数とする．座標平面上で円$x^2+y^2$$-6ax$$+2ay$$+20a$$-10=0$は，$a$の値に関わらず定点を通り，その座標は$\text{①}$である．また，この円が円$x^2+y^2=5$と外接するのは，$a=\text{②}$のときである．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　$\mathrm{AB}=10\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=8$の三角形$\mathrm{ABC}$の内接円$\mathrm{O}$と，辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$との接点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{BD}=\text{③}$である．また，線分$\mathrm{BE}$と円$\mathrm{O}$との共有点のうち，$\mathrm{E}$と異なる方を$\mathrm{F}$として，円$\mathrm{O}$の中心を$\mathrm{M}$とするとき，$\cos \mathrm{\angle EMF}=\text{④}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　$i$を虚数単位とする．$z={\displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}-i}}$とし，$z^n$が実数となるような最小の自然数$n$は$\text{⑤}$である．また，このとき，$z^n=\text{⑥}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{3x^4+2}(1-\cos {\displaystyle \frac{2}{x}})}{x}}$は$\text{⑦}$である．また，極限$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{3x^4+2}(1-\cos {\displaystyle \frac{2}{x}})}{(2x+5)\tan {\displaystyle \frac{3}{x}}}}$は$\text{⑧}$である．