2025　関西大学　全学日程文系2月2日実施MathJax

【１】　次の$$を数値でうめよ．

　$0\leqq \theta <\pi$とする．座標平面において，原点と点$(\cos \theta ,\sin \theta )$を通る直線を$l$とおく．点$(2,0)$と$l$の距離を$s$とおくと，

$s^2=\text{①}{\sin }^2\theta$

である．

　また，点$(1,-3)$と$l$の距離を$t$とおくと，

$t^2={\sin }^2\theta$$+\text{②}\sin \theta \cos \theta$$+\text{③}{\cos }^2\theta$

である．よって，

$s^2+t^2$$=\text{④}\sin 2\theta$$+\text{⑤}\cos 2\theta +\text{⑥}$

となる．

　さらに，$\theta$が$0\leqq \theta <\pi$の範囲を動くとき，$s^2+t^2$の最小値は$\text{⑦}$である．

【２】　$s\text{，}$$t$を実数とし，$0<s<1\text{，}$$t>0$とする．$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$(1-s):s$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$(1+t):t$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．次の$$をうめよ．

　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$s$と$\overrightarrow{a}$を用いて表すと$(\text{①})\overrightarrow{a}$となる．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$と$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$(\text{②})\overrightarrow{b}$となる．$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$s\text{，}$$t$と$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{\text{③}}{s+t}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{④}}{s+t}}\overrightarrow{b}$

となる．

　$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=3:8$となる$s\text{，}$$t$のなかで，$s$が$2$以上の整数の逆数で，$t$が整数となるものをすべて求めると$(s,t)=\text{⑤}$となる．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　和

${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{\displaystyle \frac{1}{(3k-2)(3k+1)}}$

を求めよ．

(2)　和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$$-{\displaystyle \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}}\}$

を求めよ．

(3)　和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}}$

を$S_n$とおく．このとき，すべての自然数$n$に対して$S_n<{\displaystyle \frac{1}{m}}$となるような自然数$m$のうち，最大のものを求めよ．