2025　関西大学　全学日程総合情報学部2月1日実施MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を正の数とする．座標平面上の曲線$C_1\text{：}y=x^3+a{x}^2$と曲線$C_2\text{：}y=b{x}^2+abx$について，次の問いに答えよ．

{1}　$C_1$と$C_2$が異なる$3$つの共有点をもつことを示せ．

(2)　$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積を$S_1\text{，}$$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となるのは$a=b$のときのみであることを示せ．

【２】　自然数$n$に対して

$k=\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+1}}$$+\sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+1}}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$k$は$3$次方程式$x^3+3x$$-2n=0$のただひとつの実数解であることを示せ．

(2)　$\sqrt[3]{18+5\sqrt{13}}$$+\sqrt[3]{18-5\sqrt{13}}$の表す整数を求めよ．

(3)　$k$が整数であるような素数$n$をすべて求めよ．

【３】　図１のような横$9$列，縦$9$行の将棋盤を考える．将棋盤では，各マスは横のアラビア数字と縦の漢数字を用いて指定される．例えば，図１の☆の位置であれば，「$4$三」と表現する．ここでは，この表現を$(4,3)$と書き，右上スミのマスを$(1,1)$として，横$m$列目，縦$n$行目が交差するマスを$(m,n)$と書くものとする．つまり，「$4$三」は$(m,n)=(4,3)$である．

　$2\leqq m\leqq 8\text{，}$$2\leqq n\leqq 8$のとき，マス$(m,n)$にある将棋の駒「銀」は，図２のように$1$回の操作で

$\text{(a) }(m+1,n-1)\text{，}$$\text{(b) }(m,n-1)\text{，}$$\text{(c) }(m-1,n-1)\text{，}$$\text{(d) }(m+1,n+1)\text{，}$$\text{(e) }(m-1,n+1)$

の$5$つのマスのうちいずれか$1$つを等しい確率で選んで移動する．

　マス$(5,5)$にある「銀」が，何回かの操作の後に移動した先のマスを$(M,N)$で表すとき，次の$$をうめよ．

　$2$回の操作の後，「銀」が存在しうるマスの総数は$\text{①}$であり，そのときに「銀」が$M$と$N$が互いに素となるマスに存在している確率は$\text{②}$である．$3$回の操作の後，$N<5$となる確率は$\text{③}$であり，$4$回の操作の後，$M=4$となる確率は$\text{④}$である．さらに，$4$回の操作の後，コマが最初の位置に戻っている確率は$\text{⑤}$である．

【４】　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$2$条件

$5|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|-2|5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|=4\text{，}$$-3|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}|=-3$

を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$のとりうる値を調べる．次の$$をうめよ．

　$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\text{，}$$5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$と同じ方向をもつ単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}$とすれば，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$=\text{①}\overrightarrow{e_1}\text{，}$$5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$$=\text{①}\overrightarrow{e_2}$と表されるから，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}$を用いて表せば$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$=\text{③}\overrightarrow{e_1}$$+\text{④}\overrightarrow{e_2}$となる．したがって，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最小値は$\text{⑤}$で，最大値は$\text{⑥}$である．