2025　関西大学　全学日程文系2月3日実施MathJax

【１】　図のような円に内接する長方形$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{OD}$と円の交点のうち，$\mathrm{O}$でないものを$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OC}=3$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle BOD}$の値を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【２】　$0\leqq x<2\pi$において，関数

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x)$$+\sin x\cos x(\sin x+\cos x)$$+\sin x\cos x$$-2(\sin x+\cos x)+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

を考える．次の$$をうめよ．ただし，$\text{②}\text{，}$$\text{③}$以外は数値でうめよ．

　$\sin x+\cos x=t$とおくと，$t$のとりうる値の範囲は

$-\text{①}\leqq t\leqq \text{①}$

である．また，$\sin x\cos x$を$t$を用いて表すと$\sin x\cos x$$=\text{②}$となる．さらに，$y$を$t$を用いて表すと$y=\text{③}$となる．

　したがって，$y$は$t=\text{④}$で最小値をとり，$t=\text{⑤}$で最大値$\text{⑥}$をとる．よって，$y$の最大値を与える$x$の値は$\text{⑦}$となる．

【３】　集合$A\text{，}$$B$を

$A=\{x|1\leqq x\leqq 99\text{，}x\text{は}3\text{の倍数}\}$

$B=\{x|1\leqq x\leqq 99\text{，}x\text{は}5\text{の倍数}\}$

とする．次の$$を数値でうめよ．

　$A\cap B$は$1$以上$99$以下の$\text{①}$の倍数全体の集合である．$A$の要素の個数を$l$とおくと，$l=\text{②}$である．$A$の要素を小さい順に$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_l$とおくと，

${\displaystyle \sum _{k=1}^l}{a}_k$$=a_1$$+a_2$$+a_3$$+\cdots$$+a_l$$=\text{③}$

である．

　$A\cup B$の要素の個数を$m$とおくと，$m=\text{④}$である．$A\cup B$の要素を小さい順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_m$とおくと，

${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{x}_k$$=x_1$$+x_2$$+x_3$$+\cdots$$+x_m$$=\text{⑤}$

である．また，$A\cup B$の部分集合で，$2$個の要素からなるものは全部で$\text{⑥}$個あり，そのうち，整数$a$を用いて$\{a,a+2\}$と表されるものは全部で$\text{⑦}$個ある．