2025　関西大学　全学日程理系2月2日実施MathJax

(1)　$f(x)$の第$1$次導関数と第$2$次導関数を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，変曲点の$x$座標を求めよ．また，この関数のグラフの概形を解答欄の座標平面上に図示せよ．

(3)　$a>0$とする．曲線$y=f(x)\text{，}$$x$軸および直線$x=a$とで囲まれる図形の面積を$S(a)$とするとき，$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$を求めよ．

(1)　$n=3\text{，}$$x=1$とするとき，取り出した玉が$2$個とも白玉である確率は$\text{①}$である．取り出した玉のうち，少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\text{②}$である．

(2)　$n=5\text{，}$$x=2$とするとき，取り出した玉が$2$個とも白玉である確率は$\text{③}$である．取り出した玉のうち，$1$個だけが赤玉である確率は$\text{④}$である．

(3)　$n$を$4$以上の自然数とする．取り出した玉が$2$個とも白玉である確率は${\displaystyle \frac{\text{⑤}}{n(n-1)}}$である．また，取り出した玉のうち，少なくとも$1$個は赤玉である確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上となるための条件は，$\text{⑤}\leqq \text{⑥}$である．

(4)　$n=22$とする．取り出した玉のうち，少なくとも$1$個は赤玉である確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上であるときの$x$の最小値は$\text{⑦}$である．

【３】　右の図において$\mathrm{\angle AOB}$を$\theta$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．円$C_1$は半直線$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$に接し，さらに中心と点$\mathrm{O}$との距離は$1$とする．次に，円$C_2$を，図のように$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$および円$C_1$に接するように$\mathrm{O}$側に定める．同様に，円$C_3$を，$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$および円$C_2$に接するように$\mathrm{O}$側に定める．以下，この操作を繰り返して，円

$C_4\text{，}$$C_5\text{，}$$C_6\text{，}\cdots \text{，}$$C_n\text{，}\cdots$

を順に定めていく．また，$t=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　円$C_1$の半径と円$C_2$の半径を，それぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　自然数$n$に対して，円$C_n$の半径を$n$と$t$を用いて表せ．

(3)　円$C_n$の面積を$S_n$としたとき，無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を$t$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた無限級数の和を$S(\theta )$とおくとき，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S(\theta )}{\theta }}$を求めよ．