2025　関西大学　全学日程文系2月1日実施MathJax

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$C$と$l$の接点を$\mathrm{Q}$とおく．$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

(3)　$C$と$l$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

$x^4-10x^3$$+35x^2$$-50x$$+25=0$$\cdots$(＊)

を解く．次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}$以外は数値でうめよ．

　$x=1$は(＊)の解にならないので，

$x-1+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}=t$$\cdots$(＊＊)

とおく．${(x-1)}^2$$+{\left({\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right)}^2$を$t$を用いて表すと

${(x-1)}^2$$+{\left({\displaystyle \frac{1}{x-1}}\right)}^2$$=\text{①}$

となる．次に，

$x^4-10x^3$$+35x^2$$-50x+25$

$={(x-1)}^4$$-\text{②}{(x-1)}^3$$+\text{③}{(x-1)}^2$$-\text{②}(x-1)+1$

と変形できることにより，(＊)は$t$についての$2$次方程式${(t-\text{④})}^2=0$にかきかえられる．これを解くと$t=\text{④}$となる．これを(＊＊)に代入すると(＊)の解は$x=\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$となる．ただし，$\text{⑤}<\text{⑥}$とする．

$t=9{\log }_{x}y+{\log }_{y}x$

とおく．次の$$をうめよ，

　$t=-6$のとき，${\log }_{y}x$の値は$\text{①}$となる．また，$t=10$のとき，${\log }_{y}x$の値をすべて求めると$\text{②}$となる．

　$9{\log }_{x}y$と${\log }_{y}x$は$u$についての$2$次方程式$u^2-tu$$+\text{③}=0$の解である．このことから，$x\text{，}$$y$として$1$でない正の実数全体を考えたとき，$t$のとりうる値の範囲は$t\leqq \text{④}\text{，}$または，$\text{⑤}\leqq t$となる．$x>1\text{，}$$y>1$となる範囲に制限したときの$t$のとりうる値の範囲は$\text{⑥}$である．さらに，$x>y^4\text{，}$$y>1$となる範囲に制限したときの$t$のとりうる値の範囲は$\text{⑦}$である．