2025　立命館大　全学統一理系2月3日実施MathJax

【１】　自然数$a_1\text{，}$$a_2$に対して，漸化式

$a_{k+2}=|a_{k+1}-a_k|$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

により数列$\{a_k\}$を定める．また，この数列において初項から$0$ではない項が連続する個数を$n$とおく．つまり，$n$は$a_{n+1}=0$を満たし，$k\leqq n$なるすべての自然数$k$に対して$a_k>0$を満たす自然数である．

〔1〕$a_1=2\text{，}$$a_2=3$のとき，$a_4=\text{ア}\text{，}$$a_7=\text{イ}\text{，}$$a_{16}=\text{ウ}$である．また，$a_1=3\text{，}$$a_2=6$のとき，$a_5=\text{エ}\text{，}$$a_{16}=\text{オ}\text{，}$$a_{100}=\text{カ}$である．

〔2〕$a_1=3\text{，}$$a_2=2$のとき，$n=\text{キ}$であり，$a_n=\text{ク}$である．また，$a_1=4\text{，}$$a_2=8$のとき，$n=\text{ケ}$であり，$a_n=\text{コ}$である．

〔3〕$a_1=15$とする．このとき，$a_2<a_1$かつ$a_n=1$となる$a_2$は全部で$\text{サ}$個存在する．

〔4〕$a_1=m\text{，}$$a_2=1$とする．ただし，$m$は自然数である．このとき，$m$が偶数であれば$n=\text{シ}$であり，$m$が奇数であれば$n=\text{ス}$であって，$n$は$m$の$1$次式により表される．

【２】　実数全体で定義された連続な関数$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$h(x)$が以下の等式を満たすとする．

$h(x)={\displaystyle {\int }_{-x}^x}f(t-x)g(t+x)\mathit{dt}$

〔1〕$g(x)=e^x$とする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

　$f(x)=e^x$のとき，$h(x)=\text{ア}$となる．また，$f(x)=e^{-x}$のとき，$h(x)=\text{イ}$となる．

〔2〕$f(x)=x$とする．$g(x)=x$のとき，$h(x)=\text{ウ}$となる．また，$g(x)=\text{エ}$のとき，$h(x)=x^3-x^2$となる．ここで，$\text{エ}$は$x$の$1$次式である．

〔3〕$h(0)=\text{オ}$である．

　$f(x)$と$g(x)$がともに偶関数であるならば，$h(-x)$は$h(x)$を用いて，$h(-x)=\text{カ}$と表すことができる．

〔4〕$f(x)=\cos x\text{，}$$g(x)=\sin x$とする．このとき$h(x)=\text{キ}$となる．また，$x>0$の範囲で$h(x)=0$を満たす最小の$x$は$x=\text{ク}$であり，${\displaystyle {\int }_0^{\text{ク}}}h(x)\mathit{dx}=\text{ケ}$である．また，$x>0$の範囲で$h^{\prime }(x)=0$が成り立つとき，${\displaystyle \frac{\tan (2x)}{x}}=\text{コ}$である．

【３】　平面上のへこみのない五角形$\mathrm{ABCDE}$の内角および辺が次を満たしているとする．

$\mathrm{\angle EAB}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}=1$

$\angle \mathrm{ABC}=150\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{BC}=2$

$\mathrm{\angle BCD}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{CD}=1$

　図のように$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{y}$とする．

　このとき，$\mathrm{DE}=\text{ア}$である．三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\text{イ}$であり，五角形$\mathrm{ABCDE}$の面積は$\text{ウ}$である．（ただし，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}$は二重根号を使わずに分母を有理化して答えよ．）

　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$はそれぞれ$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$を用いて，

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\text{エ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\text{オ}$

と書ける．

　よって，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{EC}$の交点を$\mathrm{F}$とすれば，

$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\text{カ}$

となるので，$\mathrm{FC}=\text{キ}$である．（ただし，$\text{カ}$は$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$を用いて答えよ．）したがって，四角形$\mathrm{ABCF}$の面積は$\text{ク}$となる．

　さらに点$\mathrm{O}$を

$\overrightarrow{\mathrm{FO}}$$={\displaystyle \frac{1}{5}}(\overrightarrow{\mathrm{FA}}+\overrightarrow{\mathrm{FB}}+\overrightarrow{\mathrm{FC}}+\overrightarrow{\mathrm{FD}}+\overrightarrow{\mathrm{FE}})$

により定めると，${\mathrm{FO}}^2=\text{ケ}$である．

【４】　座標平面内の曲線$C\text{：}{x}^2-5y^2=1$を考える．

〔1〕定数$a>0$に対して，直線$l\text{：}y=x-a$と曲線$C$が接するのは$a=\text{ア}$のときである．また，$C$と$l$が相異なる$2$点で交わるとき，$2$点の$y$座標がともに正となるのは$\text{ア}<a<\text{イ}$のときである．

　以後，$a$は$a>\text{イ}$を満たす実数とする．

〔2〕方程式$|x-2a|+\left|y\right|=a$を満たす点$(x,y)$で，曲線$C$上にあって$y>0$となるものは$2$個ある．これら$2$点を，$y$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{\text{ウ}+\sqrt{\text{エ}}}{4}},{\displaystyle \frac{a+\sqrt{\text{エ}}}{4}})\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標は$({\displaystyle \frac{\text{オ}-\sqrt{\text{カ}}}{4}},{\displaystyle \frac{-3a+\sqrt{\text{カ}}}{4}})$である．ただし，$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}$は$a$の整式である．

〔3〕領域$D\text{：}|x-2a|+\left|y\right|\leqq a$に含まれる点のうち$y$座標が最も大きい点を$\mathrm{R}$とする．$(\mathrm{▵PQR}\text{の面積})$を$(\text{領域}D\text{の面積})$で割った値を$f(a)$とおき$a$の関数とみなすと，

$f(a)$$={\displaystyle \frac{1}{32}}(\text{キ}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{エ}}}{a}})(\text{ク}-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{カ}}}{a}})$

である．ただし，$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$はいずれも定数である．特に，$\underset{a\to \infty }{\lim }f(a)=\text{ケ}$が成り立つ．