2025　立命館大　理系型3教科,薬学方式2月2日実施MathJax

【１】

〔１〕座標平面において，次の連立不等式の表す領域$D$に含まれる格子点$\text{（}x$座標，$y$座標がともに整数である点）の個数を考える．ただし，$n$は自然数とする．

$\{\begin{array}{l}1\leqq x\leqq 3^n\\ 0\leqq y\leqq {\log }_{3}x\end{array}$

　直線$y=k$$\text{（}k$は整数）が領域$D$と共通部分をもつとき，$k$の値の範囲は$\text{ア}$である．

　直線$y=k$と曲線$y={\log }_{3}x$との交点の座標は$(\text{イ},k)$である．

　したがって，領域$D$に含まれる直線$y=k$上の格子点の個数は，$n$と$k$を用いて$\text{ウ}$と表される．

　よって，領域$D$に含まれる格子点の個数は，$n$を用いると

$(\text{エ})3^n+\text{オ}$

となる．

【１】

〔２〕$0\leqq x<2\pi \text{，}$$0\leqq y<2\pi$のとき，次の連立方程式の解を求める．

$\{\begin{array}{ll}\cos x=1-\sin y& \cdots \text{①}\\ \sin x=\sqrt{3}+\cos y& \cdots \text{②}\end{array}$

　$\text{①}\text{，}$$\text{②}$より$x$を消去すると

$\sin y-\text{カ}\times \cos y=\text{キ}$$\cdots \text{③}$

となる．ただし，$\text{キ}$は定数である．

　$\text{③}$は次のように変形できる．

$\sin (y-\text{ク})=\text{ケ}$

ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \text{ク}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であり，$\text{ケ}$は定数である．

　$0\leqq y<2\pi$より，$y=\text{コ}$である．

　$y=\text{コ}$を$\text{①}\text{，}$$\text{②}$に代入して，$0\leqq x<2\pi$を満たす$x$の値を求めると

$x=\text{サ}$

が得られる．

【１】

〔３〕$700$点満点の試験をしたところ，受験者$10$人の得点$x$は次の通りであった．

$620\text{，}$$615\text{，}$$595\text{，}$$605\text{，}$$590\text{，}$$625\text{，}$$585\text{，}$$580\text{，}$$600\text{，}$$605$

得点$x$の平均値は，$\text{シ}$である．

　ここで，得点$x$の仮平均を$600$として

$u={\displaystyle \frac{x-600}{5}}$

とすると，変量$u$の標準偏差は$\text{ス}$である．

　したがって，得点$x$の標準偏差は$\text{セ}$である．

【２】　$p\text{，}$$q$を$p\geqq 0>q$を満たす定数とし，関数$f(x)=x^4$$+4p{x}^3$$+2q{x}^2$を考える．

〔１〕関数$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とし，方程式$f^{\prime }(x)=0$の異なる$3$個の実数解を$0\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$とする．さらに$\alpha >\beta$とすると，$\alpha$は，$p\text{，}$$q$を用いて

$\alpha ={\displaystyle \frac{\text{ア}+\sqrt{\text{イ}-\text{ウ}}}{2}}$

と表される．

〔２〕関数$f(x)$が$x=-2\text{，}$$2$で極値をとるとする．

　このとき，$p=\text{エ}\text{，}$$q=\text{オ}$であり，$-3\leqq x\leqq 3$における関数$f(x)$の最大値は$\text{カ}\text{，}$最小値は$\text{キ}$である．

　この関数$y=f(x)$のグラフを，直線$y=\text{キ}$に関して対称に折り返したグラフを関数$y=g(x)$のグラフとすれば

$g(x)=\text{ク}\times x^4$$+\text{ケ}\times x^2-\text{コ}$

である．

　さらに，関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれた図形の面積$S$は

$S=\text{サ}$

である．

【３】　座標空間に存在する$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を頂点とする正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{▵ABC}\text{，}$$\mathrm{▵BCD}\text{，}$$\mathrm{▵CAD}\text{，}$$\mathrm{▵ABD}$の重心をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$とする．正四面体$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$a$であり，$\mathrm{A}(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}({\displaystyle \frac{-a}{2}},0,0)\text{，}$$\mathrm{C}({\displaystyle \frac{a}{2}},0,0)$とする．また，点$\mathrm{D}$の$z$座標を正とする．

〔１〕$\mathrm{AP}=\mathrm{BP}$$=\mathrm{CP}=\text{ア}\text{，}$$\mathrm{▵BCP}$の面積は$\text{イ}$である．ただし，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$については$a$を用いて答えよ．

〔２〕点$\mathrm{D}$の座標は$\text{ウ}\text{，}$点$\mathrm{P}$の座標は$\text{エ}\text{，}$点$\mathrm{Q}$の座標は$\text{オ}\text{，}$点$\mathrm{R}$の座標は$\text{カ}\text{，}$点$\mathrm{S}$の座標は$\text{キ}$である．

　したがって，$\mathrm{AQ}=\mathrm{BR}$$=\mathrm{CS}$$=\mathrm{DP}$$=\text{ク}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\text{ケ}$である．

　ただし，$\text{ウ}$から$\text{ク}$までについては$a$を用いて答えよ．

〔３〕$4$本の線分$\mathrm{AQ}\text{，}$$\mathrm{BR}\text{，}$$\mathrm{CS}\text{，}$$\mathrm{DP}$は$1$点で交わり，その交点を正四面体$\mathrm{ABCD}$の重心という．正四面体$\mathrm{ABCD}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，実数$x\text{，}$$y$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{SG}}$を次のように表すことができる．

$\overrightarrow{\mathrm{SG}}=\overrightarrow{\mathrm{SD}}+x\overrightarrow{\mathrm{DP}}=y\overrightarrow{\mathrm{SC}}$

このとき，$x=\text{コ}\text{，}$$y=\text{サ}$である．

〔４〕$\overrightarrow{\mathrm{GA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{GB}}$のなす角を$\theta$とすると，$\cos \theta =\text{シ}$である．

【４】　$n$を$2$以上の整数とする．図１のように，同じ大きさの立方体の箱を横に$2$個並べ，手前から奥に向かって合計$2n$個並べた直方体がある．なお，図１は$n=3$のときの直方体を真上から見たときのものである．

　一番手前にある$2$個の箱を除くすべての箱に$1$枚ずつ硬貨を投げ入れる．硬貨を投げ入れたとき表裏が出る確率は，それぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

　ここで，次の事象$A\text{，}$$B$を考え，事象$A$が起こる場合の数を$a_n\text{，}$事象$A$が起こる確率を$P_n$とする．

$A$：お互いに側面が接しており，かつ硬貨が入っている$2$個の箱の中を見ると，少なくとも$1$枚は裏が出ている

$B$：表が出ている硬貨の枚数と裏が出ている硬貨の枚数が等しい

　図２は$n=6$のときの積事象$A\cap B$の例を示している．

〔１〕$n=2$の場合，箱の総数は$4$であるが，硬貨を投げ入れる箱の数は$2$である．したがって，$a_2=\text{ア}\text{，}$$P_2=\text{イ}$である．

　$n=3$の場合，$a_3=\text{ウ}\text{，}$$P_3=\text{エ}$である．

　$n=4$の場合，$P_4=\text{オ}$である．

〔２〕$n\geqq 4$のとき，次の漸化式が成り立つ．

$a_n=\text{カ}\times a_{n-1}$$+\text{キ}\times a_{n-2}$

　$n=6$の場合，$P_6=\text{ク}$である．

　$n=6$の場合，事象$A$が起こったことがわかっているとき，事象$B$が起こる確率は$\text{ケ}$である．

〔３〕$\alpha \text{，}$$\beta$を実数として，〔２〕の漸化式を次のように変形する．

$a_n-\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}-\alpha a_{n-2})$

　この式を満たす$\alpha \text{，}$$\beta$の組は$2$組あり

$(\alpha ,\beta )=(\text{コ},\text{サ})$または$(\alpha ,\beta )=(\text{サ},\text{コ})$

である．ただし，$\text{コ}<\text{サ}$とする．

　$\alpha \text{，}$$\beta$の組が$2$組あるので，二つの漸化式が得られる．これらの漸化式から数列$\{a_n\}$の一般項を計算して，$P_n$を求めると

$P_n=\text{シ}$

となる．