2025　立命館大　全学統一文系2月3日実施MathJax

【１】

〔1〕$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}$が鋭角，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の面積が$4\sqrt{2}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$3:5$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{AC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．点$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は同一円周上にある．

　このとき，$\mathrm{AM}=\text{ア}\text{，}$$\mathrm{AC}=\text{イ}$である．また，$\mathrm{▵AML}$の面積は$\text{ウ}$であり，$\mathrm{BC}=\text{エ}$である．

　さらに，線分$\mathrm{BL}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{BN}}{\mathrm{NC}}}=\text{オ}$である．また，$\mathrm{▵LMN}$の面積は$\text{カ}$である．

【１】

〔2〕不等式$n\left|x\right|+\left|y\right|\leqq n^2$$\cdots \text{①}$がある．ただし，$n$は自然数である．

(1)　$x$と$y$を次の$4$つの場合に分けて考えると，不等式$\text{①}$は次のように表される．

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$のとき$y\text{キ}\text{ク}$

$x\geqq 0\text{，}$$y<0$のとき$y\text{ケ}\text{コ}$

$x<0\text{，}$$y\geqq 0$のとき$y\text{サ}\text{シ}$

$x<0\text{，}$$y<0$のとき$y\text{ス}\text{セ}$

$\text{キ}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{サ}\text{，}$$\text{ス}$にあてはまるものを選択肢Aから，$\text{ク}\text{，}$$\text{コ}\text{，}$$\text{シ}\text{，}$$\text{セ}$にあてはまるものを選択肢Bから$1$つずつ選び，$\overline{)\text{あ}}\text{〜}$$\overline{)\text{か}}$の記号で答えよ．

　(2)，(3)では，座標平面上で$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．

(2)　連立不等式$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$y\text{キ}\text{ク}$の表す領域に含まれる格子点の個数を求める．そのうち，直線$x=k$$\text{（}k$は$0\leqq k\leqq n$の整数）上にある格子点の数は，$k$を用いて$\text{ソ}$と表される．したがって，求める格子点の個数は$\text{タ}$である．

(3)　$\text{①}$式の表す領域に含まれる格子点の個数は$\text{チ}$である．

【１】

〔3〕整数$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3\text{，}$$y_4$が並んだ下の表について考える．

　$8$個の整数$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8$がある．$x_1$はその$8$個の中から$1$個選んだ数，次に$x_2$は残りの$7$個の中から$1$個選んだ数，$x_3$は残りの$6$個の中から$1$個選んだ数，順に$x_4\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$y_3$は同様にして選んだ数，$y_4$は最後に残った数とする．

(1)　条件$\text{「}{x}_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$はすべて奇数」を満たす表は$\text{ツ}$通りある．

(2)　条件$\text{「}{x}_1+y_1$$=x_2+y_2$$=x_3+y_3$$=x_4+y_4\text{」}$を満たす表は$\text{テ}$通りある．

(3)　条件$\text{「}{x}_1<x_2<x_3<x_4\text{」}$かつ$\text{「}{y}_1<y_2<y_3<y_4\text{」}$を満たす表は$\text{ト}$通りある．

(4)　(3)の条件に加え，条件$\text{「}{x}_1<y_1\text{」}$かつ$\text{「}{x}_2<y_2\text{」}$かつ$\text{「}{x}_3<y_3\text{」}$かつ$\text{「}{x}_4<y_4\text{」}$を満たす表は$\text{ナ}$通りある．

【２】　ある衣料品メーカーはスーツの生地を生産している．その生地の生産量を$x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$で表し，この商品の$1$単位当たりの価格を$P$$\text{（}P>0\text{）}$とする．この衣料品メーカーの売り上げを価格と生産量の積$Px\text{，}$生産にかかる費用を${\displaystyle \frac{x^3}{3}}-5x^2+109x+11$とすると，衣料品メーカーの利潤は次の式で表される．

$f(x)=Px$$-({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-5x^2+109x+11)$

〔1〕価格$P$を定数とするとき，衣料品メーカーの利潤$f(x)$が最大になるように生産量$x$を決める．

　$f(x)=0$のとき，価格$P$と生産量$x$の関係式は，

$P=\text{ア}$$\cdots \text{①}$

と表される．

　このスーツの生地の価格が$P=100$のとき，利潤を最大にする生産量$x_1$は，$x_1=\text{イ}$となる．

　このとき，衣料品メーカーの生産者余剰は

${\displaystyle {\int }_0^{\text{イ}}}(100-\text{ア})\mathit{dx}$

で求められる．つまり，この値がスーツの生地を$1$単位販売したときの価格からその生産のために必要な費用を差し引いた値を合計したものを表している．よって，$P=100$のときの生産者余剰は$\text{ウ}$となり，$\text{ウ}$から衣料品メーカーの利潤の最大値を引いた値は，$\text{エ}$となる．

〔2〕いま，このスーツの生地の生産によって河川の水質汚染が発生することがわかった．この汚染を取り除くためには，生産量$1$単位当たり$7$の費用が必要となる．例えば，価格が$P=100$での生産量が$x_1$のとき，生産者余剰から汚染の除去費用を引いたものは$\text{オ}$となる．

　一般に，水質汚染を取り除くための生産量$1$単位当たり$7$の費用を衣料品メーカーが負担する場合を考える．この場合，衣料品メーカーの利潤は次のようになる．

$Px-({\displaystyle \frac{x^3}{3}}-5x^2+109x+11+\text{カ})$

この衣料品メーカーは利潤が最大になるように生産量$x$を決める．このとき，価格$P$と生産量$x$の関係式は，

$P=\text{キ}$$\cdots \text{②}$

と表される．

〔3〕次に，消費者が購入するスーツの生地の量を$x_D$$\text{（}{x}_D\geqq 0\text{）}$と表す．購入量$x_D$と価格$P$の関係が，

$P=-7x_D+144$

と表されるとする．ここで，スーツの生地の生産量$x$と購入量$x_D$が一致するときの生産量，購入量を均衡取引量$x^{*}\text{，}$そのときの価格を均衡価格$P^{*}$と呼ぶこととする．衣料品メーカーの価格$P$と生産量$x$の関係式が$\text{②}$のとき，均衡価格は$P^{*}=\text{ク}\text{，}$均衡取引量は$x^{*}=\text{ケ}$となる．もし水質汚染を考慮せず，価格$P$と生産量$x$の関係式が$\text{①}$のとき，$\text{②}$のときと比較して均衡価格は$\text{コ}\text{，}$均衡取引量は$\text{サ}\text{，}$

　$\text{コ}$は選択肢Aから，$\text{サ}$は選択肢Bから正しいものを$1$つずつ選び記号で答えよ．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を定数とする．円$C\text{：}{x}^2+y^2$$+ax$$+by$$+c=0$の中心の座標が$(1,1)\text{，}$半径が$\sqrt{5}$である．このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を求めよ．

(2)　円$C$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x＋{\displaystyle \frac{1}{2}}$との交点の座標を求めよ．

〔2〕点$(x,y)$が，円$C$の円周上にあり，かつ$y\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たしている．

(1)　$x+y=t$とおくとき，$t$の値の範囲を求めよ．

(2)　$F=x^3+y^3$$-x^{2}y$$-x{y}^2$$-3x-3y$を$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた$t$の式を$f(t)$とするとき，$f(t)$の最大値と最小値を求めよ．