2025　立命館大　全学統一理系2月2日実施MathJax

【１】　$\mathrm{▵ABC}$は$3$辺の長さの和が$6$であり，$\mathrm{BC}$の長さは$\mathrm{AB}$の長さより$1$大きい．$\mathrm{AB}$の長さを$x$とおくと，$\mathrm{BC}=\text{ア}\text{，}$$\mathrm{CA}=\text{イ}$と表される．また，$x$が取りうる値の範囲は$\text{ウ}<x<\text{エ}$である．$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos B$を$x$の式で表すと，$\text{オ}$となる．${\mathrm{AB}}^2\cdot {\mathrm{BC}}^2{\sin }^{2}B$を$x$の式で表すと$\text{カ}$となる．ゆえに，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$x$を用いて$\text{キ}$と表すことができる．これが$\text{ウ}<x<\text{エ}$において最大となるのは，$x=\text{ク}$であり，そのときの$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ケ}$である．

【２】　実数全体で定義された関数$f(x)=e^x-x-20$について，$f(x)=0$を満たす$x$で最大のものを$p$おく．ただし，$e$は自然対数の底であり，不等式

$2.718<e<2.719$

を満たす．

〔1〕$f(x)$は$x=\text{ア}$のとき最小値$\text{イ}$をとり，方程式$f(x)=0$の解の個数は$\text{ウ}$個である．また，$f(x)<0$を満たす整数$x$の中で最小のものは$\text{エ}$である．

〔2〕$n$を自然数とする．$n$が不等式${\displaystyle \frac{n}{10}}<e<{\displaystyle \frac{n+1}{10}}$を満たすならば，$n=\text{オ}$である．また，$n$が不等式${\displaystyle \frac{n}{4}}<e<{\displaystyle \frac{n+1}{4}}$を満たすならば$n=\text{カ}$である．

〔3〕$1$より大きい定数$a$に対して，実数全体で定義された関数$g(x)=a^x-x-20$は$x=\text{キ}$のとき最小となる．また，$g(x)=0$を満たす$x$で最大のものを$q$とするとき，$q<p$が成り立つための必要十分条件は，$a$が不等式$\text{ク}$を満たすことである．

〔4〕$f(x)<0$を満たす$x$で整数であるものは合計$\text{ケ}$個存在する．

(原注)　解答欄に対数を使用する場合，自然対数$\log$$\text{（}={\log }_e\text{）}$を用いること．

${(2+\sqrt{5})}^n=a_n+\sqrt{5}{b}_n$

〔1〕$a_1=\text{ア}\text{，}$$b_1=\text{イ}$である．$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$を用いて表すと，

$a_{n+1}=\text{ウ}{a}_n+\text{エ}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}=a_n+\text{オ}{b}_n$

となる．ただし，$\text{ウ}\text{，}$$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$は有理数である．

〔2〕$c_n=a_n+\sqrt{5}{b}_n\text{，}$$d_n=a_n-\sqrt{5}{b}_n$とおくと，$c_{n+1}=\text{カ}{c}_n\text{，}$$d_{n+1}=\text{キ}{d}_n$ であり，また，$c_n{d}_n$を$n$を用いて表すと$c_n{d}_n=\text{ク}$である．$a_n\text{，}$$b_n$の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{{(\text{ケ})}^n+{(\text{コ})}^n}{2}}\text{，}$$b_n={\displaystyle \frac{{(\text{ケ})}^n-{(\text{コ})}^n}{2\sqrt{5}}}$

であることがわかる．ただし，$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}$は定数である．

〔3〕自然数$n$に対して，$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k-\sqrt{5}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k$とおくと，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\text{サ}+\text{シ}\sqrt{5}$

である．ただし，$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}$は有理数である．

　以下，多面体の頂点から頂点に移動する動点について考える．頂点にある動点は，その頂点に隣接する頂点のいずれか$1$つに同じ確率で移動する．$n$を$0$以上の整数とする．

図

〔1〕図のような正四面体の，ある$1$つの頂点について，それと隣接する頂点は$\text{ア}$個ある．正四面体のある$1$つの頂点から出発した動点を考える．動点が$3$回移動した後に出発した頂点にある確率は$\text{イ}$である．動点が$n$回移動した後に，出発した頂点にある事象を$A_n$とする．ただし，$A_0$は全事象とする．このとき，$n\geqq 1$について条件付き確率は

$P_{A_{n-1}}(A_n)=\text{ウ}\text{，}$$P_{\overline{A_{n-1}}}(A_n)=\text{エ}$

である．$P(A_0)=1$より，$P(A_n)$を$n$の式で表すと，$P(A_n)=\text{オ}$である．

〔2〕正八面体のある$1$つの頂点について，それと隣接する頂点は$\text{カ}$個ある．正八面体のある$1$つの頂点から出発した動点を考える．動点が$n$回移動した後に，出発した頂点と隣接した頂点にある事象を$B_n$とする．ただし，$B_0$は空事象とする．このとき，$P_{B_{n-1}}(\overline{B_n})=\text{キ}$である．$P(B_0)=0$より，動点が$n$回移動した後に出発した頂点にある確率を$n$の式で表すと$\text{ク}$である．