2025　立命館大　全学統一文系2月2日実施MathJax

【１】

〔1〕　次の表は，$2019$年から$2024$年までの$6$年間について，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$つの地点における$2$月の降水量$(\mathrm{mm})$のデータをまとめたものである．

(1)　$2$月の各地点の降水量の標準偏差について考える．最も大きいのは$\text{ア}$地点と$\text{イ}$地点であり，その値は$\text{ウ}$である．$\text{ウ}$は最も小さい地点の値の$\text{エ}$倍である．

(2)　標準偏差を平均値で割って得られる値で，データのばらつきの度合いを表すとき，$2$月の降水量のばらつきが，最も大きいのは$\text{オ}$地点であり，最も小さいのは$\text{カ}$地点である．

(3)　$2$月の降水量について地点間の相関係数または散布図を用いて考察すると，$\mathrm{D}$地点との間に最も強い負の相関関係がみられるのは$\text{キ}$地点であり，$\mathrm{D}$地点との間に相関関係がみられないのは$\text{ク}$地点である．

(4)　$\mathrm{B}$地点のデータの一部について，より正確な値が得られた．$2019$年の降水量$90\mathrm{mm}$はより正確には$94\mathrm{mm}$であり，$2022$年の降水量$110\mathrm{mm}$はより正確には$106\mathrm{mm}$であった．これらのより正確な値を用いて再計算すると，$\mathrm{B}$地点における$2$月の降水量の平均値は再計算する前$\text{ケ}$し，分散は再計算する前$\text{コ}$する．$\text{ケ}$と$\text{コ}$は，次の選択肢から正しいものを$1$つ選び記号で答えよ．

【選択肢】

【１】

〔2〕$a>1$とし，関数$f(x)=a^x+a^{-x}\text{，}$$g(x)=a^x-a^{-x}$とする．

(1)　$a=3$であるとき，$f(2)+g(-2)=\text{サ}\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)g(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\text{シ}\text{，}$${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2=\text{ス}$である．

(2)　実数$p\text{，}$$q$が$f(p)f(q)=12\text{，}$$g(p)g(q)=-8$を満たしているとき，$f(p+q)=\text{セ}\text{，}$$f(p-q)=\text{ソ}$となる．このことより，$p+q=\text{タ}$である．また，$p>q$とすると，$a^p=\text{チ}$である．

【１】

〔3〕(1)　次の関数のグラフとして正しいものを，次の選択肢から$1$つ選び記号で答えよ．

(a)　$y=x\left(\right|x|-2)$のグラフは$\text{ツ}$である．

(b)　$y=\left|x\right|(x-2)$のグラフは$\text{テ}$である．

(c)　$y=\left|x\right|(|x|-2)$のグラフは$\text{ト}$である．

【選択肢】

(2)　$a$を定数とする．方程式$x(|x|-2)=a$が異なる実数解を$2$つ以上もつとき，$a$の値の範囲は，$\text{ナ}\leqq a\leqq \text{ニ}$である．

(3)　曲線$y=x(|x|-2)$と直線$y=\text{ニ}$で囲まれた部分の面積は$\text{ヌ}$である．

【２】　食料品店$\mathrm{S}$は，地域$\mathrm{A}$に住む$18$歳以上のすべての人が利用している．これらの人を食料品店$\mathrm{S}$の顧客とする．顧客の集団は十分大きいものとする．食料品店$\mathrm{S}$の顧客は，毎回の来店でマイバッグを持参する人と，店頭でレジ袋を購入する人のいずれかである．

　食料品店$\mathrm{S}$の顧客のうちマイバッグを持参する人の割合$p$を，レジ袋$1$枚の価格$x$円を用いて次のように算出する場合を考える．ただし，$x$は$x>0$の実数，$a$は定数で$a>4$の実数とする．

$p=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2}{a+2}}& \text{（}0<x\leqq a\text{）}\\ 1& \text{（}x>a\text{）}\end{array}$$\cdots \text{①}$

〔1〕いま，食料品店$\mathrm{S}$の顧客の中から任意に$1$人を選び出し，食料品店$\mathrm{S}$での買い物の際にマイバッグを持参するか，$1$枚$x$円のレジ袋を購入するかを質問する．$x$が$0<x\leqq a$の範囲にあるとき，その任意に選ばれた人がマイバッグを持参すると回答する確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$レジ袋を購入すると回答する確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．

〔2〕食料品店$\mathrm{S}$でレジ袋が$1$枚$4$円で販売される状況を考える．この状況のもとで，食料品店$\mathrm{S}$の顧客の中から任意に$1$人を選び出し，食料品店$\mathrm{S}$での買い物の際にマイバッグを持参するか，$1$枚$4$円のレジ袋を購入するかを質問する．選ばれた人は，回答の後，元の集団に戻される．この試行を$20$回繰り返し，マイバッグを持参する人が$10$人，レジ袋を購入する人が$10$人となる確率$P$は$P={}_{20}C_{10}{\left({\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\right)}^{10}$で表される．ただし，$\text{オ}$は$a$の$1$次式である．

　ここで，定数$a$$\text{（}a>4\text{）}$を変数とみなし，確率$P$が最大となる$a$を求める．${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$を変形すると次の式が得られる．

ただし，$\text{キ}$は$a$の$1$次式，$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$はいずれも正の整数である．この式から$a=\text{コ}$のとき，${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}$は最大値$\text{サ}$をとる．したがって，確率$P$は$a=\text{コ}$のとき最大となる．

〔3〕次に，〔2〕の調査を実施した$1$か月後に，食料品店$\mathrm{S}$で販売されるレジ袋が値下げされ，レジ袋が$1$枚$2$円で販売されている状況を考える．なお，食料品店$\mathrm{S}$の顧客は$1$か月前と同じであり，食料品店$\mathrm{S}$にマイバッグを持参する人の割合$p$も$1$か月前と同じく$\text{①}$式で表される．この状況のもとで，同様に食料品店$\mathrm{S}$の顧客の中から任意に$1$人を選び出し，食料品店$\mathrm{S}$での買い物の際にマイバッグを持参するか，$1$枚$2$円のレジ袋を購入するかを質問する．選ばれた人は，回答の後，元の集団に戻される．この試行を$20$回繰り返し，マイバッグを持参する人が$10$人，レジ袋を購入する人が$10$人となる確率$P$は$P={}_{20}C_{10}{\left({\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\right)}^{10}$で表され，$a=\text{セ}$のとき，${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}$は最大値$\text{ソ}$をとる．$a=\text{セ}$のとき，マイバッグを持参する人の割合を$75\mathrm{\%}$以上にするためには，レジ袋の価格$x$を$\text{夕}$円以上に設定する必要があるといえる．

【３】　$a$を定数とする．座標空間に球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2$$-2ax$$-2y$$-2z$$+a^2-3=0$がある．点$\mathrm{A}(2,1,1)$を通り，$\overrightarrow{v}=(1,-2,-1)$に平行な直線を$l$とする．

　このとき，次の問いに答えよ．

〔1〕球面$S$の中心$\mathrm{P}$の座標と半径を求めよ．

〔2〕直線$l$上の点を$\mathrm{B}$とすると，実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=t\overrightarrow{v}$と表すことができる．点$\mathrm{B}(x,y,z)$とするとき，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$をそれぞれ$t$を用いて表せ．

〔3〕球面$S$と直線$l$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．

〔4〕〔3〕のとき，交点を$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積の最大値を求めよ．

〔5〕$\mathrm{▵PQR}$の面積が最大のとき，定数$a$の値を求めよ．