2025　立命館大　全学部統一文系2月1日実施MathJax

【１】

〔１〕 $\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の$5$人の並び方を考える．

(1)　$5$人のうち，$3$人を選び，横$1$列に並ぶ並び方は$\text{ア}$通りある．

(2)　$5$人が横$1$列に並ぶとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{E}$が両端である並び方は$\text{イ}$通りある．

(3)　$5$人が横$1$列に並ぶとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{E}$よりも左に並ぶ並び方は$\text{ウ}$通りある．

(4)　$5$人が横$1$列に並ぶとき，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$3$人が続いて並ぶ並び方は$\text{エ}$通りある．

(5)　$5$人が横$1$列に並ぶとき，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$のどの$2$人も隣り合わない並び方は$\text{オ}$通りある．

(6)　$5$人が円形に並ぶとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{E}$が隣り合わない並び方は$\text{カ}$通りある．

【１】

〔２〕$k\text{，}$$m\text{，}$$n$を正の定数とし，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\theta$を実数とする．

(1)　方程式$x^2-kx$$+9=0$が異なる$2$つの解$\alpha$と$3\alpha$をもつとき，その$2$つの解は$x=\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$で，$k=\text{ケ}$である．ただし，$\text{キ}<\text{ク}$とする．

(2)　方程式${({\log }_{3}x)}^2$$-2{\log }_{3}x$$+m=0$が異なる$2$つの解$\beta$と$3\beta$をもつとき，$\beta =\text{コ}$で，$m=\text{サ}$である．

(3)　方程式$2{\cos }^{2}x$$-n\cos x=0$が，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲に異なる$2$つの解$\theta$と$3\theta$をもつとき，$\theta =\text{シ}$で，$n=\text{ス}$である．

【１】

〔３〕$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{OB}=2$である$\mathrm{▵OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$である．辺$\mathrm{AB}$の長さは$\text{セ}$であり，$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{ソ}$である．次に，点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\text{タ}\overrightarrow{a}+\text{チ}\overrightarrow{b}$である．

　ここで，点$\mathrm{H}$を通り，辺$\mathrm{OA}$に平行な直線と辺$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{C}$とすると，$\overrightarrow{\mathrm{CH}}=\text{ツ}\overrightarrow{a}$であり，$\mathrm{▵OCH}$の面積は$\text{テ}$である．

【２】　$\mathrm{X}$さんはある銀行から$2000$万円を借り入れて住宅を購入した．この元金$2000$万円の返済について，詳細は次のとおりである．

・返済期間は$30$年とする．

・返済は借り入れを行った翌月から毎月$1$日に行われ，支払回数は$30\text{年}$$\times 12\text{か月}$$=360\text{回}$とする．毎月の返済額は，一定であり，$360$回で返済が終わるように決定される．

・利息は月利$1\mathrm{\%}$（毎月の返済における利率は$1\mathrm{\%}\text{）}$の複利法で計算する．

　図１は毎月の返済額の内訳，図２は元金残高と元金返済額との関係を表している．

〔１〕初回の返済について考える．

　初回の返済額$C$（万円）は，初回の利息額と初回の元金返済額の合計となる．ここで，初回の利息額$R_1$（万円）は元金$A$（万円）に対して月利$1\mathrm{\%}$を掛けた額となる．また，初回の元金返済額$B_1$（万円）は$C$（万円）から$R_1$（万円）を差し引いた額となる．なお，初回の返済終了時点の元金残高$A_1$（万円）は$A$（万円）から$B_1$（万円）を差し引いた額となる．

　つまり，$R_1$は$A$を用いて，$R_1=\text{ア}A$と表される．さらに，$C=B_1+R_1$より，$B_1=C-\text{ア}A$となる．よって，$A_1=A-B_1$より，$A_1=\text{イ}A-C$となる．

〔２〕$n$回目$\text{（}n$は$2\leqq n\leqq 360$の自然数）の返済について初回と同様に考える．

　$2$回目以降の毎月の返済額$C$（万円）についても，利息額と元金返済額の合計となる．ここで，$n$回目の利息額$R_n$（万円）は$(n-1)$回目の返済終了時点の元金残高$A_{n-1}$（万円）に対して月利$1\mathrm{\%}$を掛けた額となる．また，$n$回目の元金返済額$B_n$（万円）は$C$（万円）から$R_n$（万円）を差し引いた額となる．なお，$n$回目の返済終了時点の元金残高$A_n$（万円）は$A_{n-1}$（万円）から$B_n$（万円）を差し引いた額となる．

　つまり，$R_n$は$A_{n-1}$を用いて，$R_n=\text{ウ}{A}_{n-1}$と表される．さらに，$C=B_n+R_n$より，$B_n=C-\text{ウ}{A}_{n-1}$となる．よって，$A_n=A_{n-1}-B_n$より，$A_n=\text{エ}{A}_{n-1}-C$となる．

　これより，$2\leqq n\leqq 360$のとき，数列$\{A_n\}$の一般項を$A$を用いて表すと，

$A_n=(\text{オ})100C+\text{カ}A$$\cdots \text{①}$

となることがわかる．

　以下の解答にあたっては，必要に応じて表１，表２の値を使用すること．

〔３〕$360$回で返済が終わるためには，毎月の返済額$C$（万円）がいくらになるかを考える．$C$を求めるには，$\text{①}$において$n=360\text{，}$$A=200\text{，}$$A_{360}=0$とすればよい．したがって，$C$は$\text{キ}$万円となることがわかる．ただし，$\text{キ}$については小数第$2$位を四捨五入すること．なお，毎月の返済額が$\text{キ}$万円のとき，返済総額$\text{（}360$回の支払総額）は$\text{ク}$万円となる．

〔４〕毎月の返済額$C$が$\text{キ}$万円のとき，$209$回目の返済後における元金残高$A_{209}$は$\text{ケ}$万円となる．また，初回から数えて$\text{コ}$回目の返済終了後に元金残高が初めて$A$の半分を下回ることになる．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がじゃんけんを$1$回する試行を考える．その結果によって次の$\text{①}\text{，}$$\text{②}$により点数が与えられる．

$\text{①}$　勝ち負けが決まったときは，$1$人だけ勝った場合も$2$人が勝った場合も勝った人には$1$点を与える．負けた人は$0$点とする．

$\text{②}$　あいこ（引き分け）のときは，$3$人とも$0$点とする．

　次の問いに答えよ．

〔１〕この試行を$1$回行う．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれか$1$人の得点が$1$になる確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれか$2$人の得点が$1$になる確率を求めよ．

〔２〕この試行を$2$回行う．それぞれの人が$2$回の試行で得た点数を合計し，それを合計得点とする．

(1)　$3$人のそれぞれの合計得点が同じになる確率を求めよ．ただし，合計得点が$0$の場合も含むものとする．

(2)　$\mathrm{A}$の合計得点が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれの合計得点よりも高くなる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}$の合計得点が$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のいずれの合計得点よりも高くなったとき，$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の合計得点がともに$0$である確率を求めよ．