2025　同志社大　理工学部2月10日実施MathJax

$C\text{：}y=2\sqrt{x-1}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

を考える．$C$上の$2$点を$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(a,2\sqrt{a-1})$とし，点$\mathrm{B}$における$C$の接線を$l$とする．点$\mathrm{A}$から$l$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$上にあって，$\mathrm{PQ}=\mathrm{AH}$を満たす点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を$y=mx+{\displaystyle \frac{n}{\sqrt{a-1}}}$とする．$m\text{，}$$n$を$a$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{H}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．

(3)　線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．線分$\mathrm{MQ}$の長さを求めよ．

(4)　$a$が$2\leqq a\leqq 4$の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡の長さを求めよ．

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\cos }^{2n}x\mathit{dx}\text{，}$$J_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{x}^2{\cos }^{2n}x\mathit{dx}$

で定め，$K_n={\displaystyle \frac{J_n}{I_n}}$とする．ただし，${\cos }^{0}x=1$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$I_0\text{，}$$J_0\text{，}$$K_0$の値を求めよ．

(2)　$I_{n+1}=a_n{I}_n$を満たす$a_n$について，$a_n$を$n$の式で表せ．

(3)　$J_{n+1}=b_n{I}_{n+1}+c_n{J}_n$を満たす$b_n\text{，}$$c_n$について，$b_n\text{，}$$c_n$を$n$の式で表せ．

(4)　$K_{n+1}-K_n$を$n$の式で表せ．

(5)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$の和を求めよ．ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{K}_n=0$が成り立つことを証明なしに用いてよい．

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin \pi x}{x^2-72x+2025}}\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)$の極小値，極大値を与える$x$の値を$0<x<10$の範囲でそれぞれすべて求めよ．

(2)　すべての整数$n$に対して，$2$つの等式

${\displaystyle {\int }_n^{n+1}}f(x)\mathit{dx}={(-1)}^n{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\sin \pi x}{{(x+n-p)}^2+q^2}}\mathit{dx}\text{，}$

${\displaystyle {\int }_{n-1}^n}f(x)\mathit{dx}={(-1)}^{n+1}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{\sin \pi x}{{(x-n+p)}^2+q^2}}\mathit{dx}$

が同時に成立するような正の定数$p\text{，}$$q$の組$(p,q)$を$1$組求めよ．

(3)等式$g(n-1)=g(n+1)$が成り立つような整数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$h(x)>0$を満たす多項式$h(x)$に対し，${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x\sin \pi x}{h(x)}}\mathit{dx}>0$であることを証明なしに用いてよい．

(4)　$0\leqq x\leqq 1000$において，$g(x)$の最小値，最大値を与える$x$の値をそれぞれすべて求めよ．