2025　同志社大　理系学部2月7日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$つのチームが試合を行い，先に$2$連勝したチームを優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{2}{3}}$で，引き分けは起こらないものとする．このとき，$2$試合目で優勝が決まる確率は$\text{ア}$であり，$4$試合目が終了した時点でまだ優勝が決まらない確率は$\text{イ}$である．また，$2$以上の自然数$n$に対し，$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を$p_n$とする．このとき，自然数$m$に対し，$p_{2m}\text{，}$$p_{2m+1}$を$m$の式で表すと，$p_{2m}=\text{ウ}\text{，}$$p_{2m+1}=\text{エ}$である．したがって，${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}{p}_n=\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．

(2)　$i$を虚数単位とする．複素数平面上で，方程式$|z+2i|$$+|z-2i|=6$を満たす点$z$全体の集合が表す図形を$C$とする．このとき，$C$上の点$z$を実数$x\text{，}$$y$を用いて$z=x+yi$と表すと，${\displaystyle \frac{x^2}{\text{カ}}}+{\displaystyle \frac{y^2}{\text{キ}}}=1$が成り立つ．したがって，$C$は楕円である．また，$C$上の点$z$に対し，点$w$を$w=z^2$で定め，実数$u\text{，}$$v$を用いて$w=u+vi$と表すと，${\displaystyle \frac{{(u+\text{ク})}^2}{\text{ケ}}}+{\displaystyle \frac{v^2}{\text{コ}}}=1$が成り立つ．したがって，点$z$が$C$上を動くとき，点$w$もまた楕円を描く．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，曲線$C\text{：}{\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2}}+y^2=1$$\text{（}y>0\text{）}$と点$\mathrm{A}(2,0)$がある．$C$上の点$\mathrm{P}(p,q)$に対し，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l$とする．点$\mathrm{A}$を通って$l$に垂直な直線を$m$とし，$m$と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の傾きを$k$とする．$kq$を$q$を含まない$p$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の$x$座標を，$q$を含まない$p$の式で表せ．

(3)　線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．

(4)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を$D$とする．$D$と$y$軸，直線$y=x$で囲まれてできる図形の面積を求めよ．

【３】　関数$f(x)$を

$f(x)=36{\displaystyle {\int }_0^x}{e}^{\sqrt{2}t}\sin t\sin 3t\mathit{dt}$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$\cos (3x-x)$および$\cos (3x+x)$の加法定理を考えることで，等式$\sin x\sin 3x$$=\alpha \cos 2x+\beta \cos 4x$がすべての実数$x$に対して成り立つような定数$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

(2)　$m\text{，}$$k$を定数とする．関数$g(x)$$=m{e}^{kx}\sin mx$$+k{e}^{kx}\cos mx$の導関数$g^{\prime }(x)$を計算せよ．

(3)　等式$f(x)$$=A$$+e^{\sqrt{2}x}(B\cos 2x$$+C\sin 2x$$+D\cos 4x+E\sin 4x)$がすべての実数$x$に対して成り立つような定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C\text{，}$$D\text{，}$$E$を求めよ．

(4)　$\gamma =e^{\frac{\sqrt{2}}{3}\pi }$とする．$0\leqq x\leqq \pi$における$f(x)$の最大値および最小値を$\gamma$の多項式で表せ．ただし，必要であれば$4<\gamma <5$であることを証明なしに用いてよい．

【４】　$c$を$0$でない実数とし，次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=c\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a_{n+1}+1}{a_n}}& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\\ {\displaystyle \frac{{(a_{n+1})}^2+1}{a_n}}& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\end{array}$

また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=x+{\displaystyle \frac{2}{x}}$$\text{（}x<0\text{）}$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$a_6\text{，}$$a_7\text{，}$$a_8$を$c$を用いて表せ．

(3)　$c$が$c<0$の範囲を動くとき，$S_0$の最小値とそのときの$c$の値を求めよ．

(4)　$a_{2025}$を$c$を用いて表せ．

(5)　$c$が$c<0$の範囲を動くとき，$S_{2025}$の最小値を求めよ．