2024　同志社大　文系学部2月5日実施MathJax

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$1$以上$5$以下の整数とする．$a=1\text{，}$かつ$1<b<c$を満たす$(a,b,c)$の組は$\text{ア}$通りである．また，$a\leqq b\leqq c$を満たす$(a,b,c)$の組は$\text{イ}$通りある．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(2)　$x^4$を$x^2-4$で割ったとき，商は$\text{ウ}\text{，}$余りは$\text{エ}$である．$x^6$を$x^2+4$で割ったとき，商は$\text{オ}\text{，}$余りは$\text{カ}$である．$n$を$3$以上の自然数とする．$x^{2n}$を$x^2-4$で割った余りは$\text{キ}$である．また，$x^{2n}$を$x^2+4$で割った余りは$\text{ク}$である．

【１】　次の$$に適する数または式を，解答用紙の同じ記号の付いた$$の中に記入せよ．

(3)　$10$人からなるクラス$\mathrm{A}$のテストの得点の平均値は$50$であり，$15$人からなるクラス$\mathrm{B}$のテストの得点の平均値は$70$であった．このとき，$2$つのクラス$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を合わせた$25$人のテストの得点の平均値は$\text{ケ}$である．$s\text{，}$$t$を正の数とする．クラス$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のテストの得点の分散がそれぞれ$s^2\text{，}$$t^2$であるとする．このとき，$2$つのクラス$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を合わせた$25$人の得点の分散は，$s\text{，}$$t$を用いて表すと$\text{コ}$である．

【２】　$n$を$0$以上の整数とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面において，$S_0$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円であり，${\mathrm{A}}_0(0,1)$である．また，点${\mathrm{B}}_0\text{，}$点${\mathrm{C}}_0$は，円$S_0$上の点で，$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$は正三角形で，点${\mathrm{B}}_0$の$x$座標の値は，点${\mathrm{C}}_0$の$x$座標の値より大きいとする．円$S_n\text{，}$および円$S_n$に内接する正三角形$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$をそれぞれ次の条件により定める．

(ⅰ)　辺${\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$は，$x$軸に平行である．

(ⅱ)　点${\mathrm{B}}_n$の$x$座標の値は，点${\mathrm{C}}_n$の$x$座標の値より大きい．また，点${\mathrm{A}}_n$の$y$座標の値は，点${\mathrm{B}}_n$の$y$座標の値より大きい．

(ⅲ)　$n$が$1$以上の整数のとき，正三角形$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$の内接円は，円$S_n$である．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　辺${\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$の長さと${\mathrm{B}}_0$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　円$S_1$の中心の座標と半径をそれぞれ求めよ．

(3)　円$S_n$の半径を$r_n$とする．$r_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．

(4)　円$S_n$の中心の座標と半径をそれぞれ$n$を用いて表せ．

【３】　$t$を正の実数とし，$xy$平面において，不等式

$x^2+y^2+4t^2+{\displaystyle \frac{9}{t^2}}$$\leqq 20$$+|4tx+{\displaystyle \frac{6}{t}}y|$

の表す領域$D_t$の面積を$S(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x\leqq \left|y\right|$の表す領域を$xy$平面に図示せよ．

(2)　不等式$x^2+y^2\leqq 7+4x+6y$の表す領域を$xy$平面に図示せよ．

(3)　$t=1$のとき，領域$D_1$を$xy$平面に図示せよ．

(4)　$S(t)$の最大値を求め，$S(t)$が最大となる$t$の値の範囲を求めよ．

(5)　$S(t)$が最小となる$t$の値を求めよ．