2025　南山大　理工A2月10日実施MathJax

【１】　$$の中に答を入れよ．

(1)　$2$つの方程式$x^2-2x$$+a^2=0\text{，}$$x^2+\sqrt{3}ax$$+a^2$$-a=0$がともに雲敷解をもつような$a$の範囲は$\text{ア}$である．また，$2$つの方程式$x^2-2x$$+a^2=0\text{，}$$x^2+\sqrt{3}ax$$+a^2$$-a=0$の少なくとも一方が実数解をもつような$a$の範囲は$\text{イ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(2)　関数$f(x)={\log }_{2}x+{\log }_{x}32$$\text{（}x>1\text{）}$を考える．${\log }_{2}x=t$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表すと$\text{ウ}$である．また，$f(x)$の最小値は$\text{エ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(3)　$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は

$a_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-1$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n=a_n+2$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{オ}$であるまた，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\text{カ}$である．

【１】　$$の中に答を入れよ．

(4)　変量$x$のデータが次のように与えられている．

$564$$578$$585$$557$$522$$536$

$u={\displaystyle \frac{x-550}{7}}$として新たな変量$\bar{u}$を作る．このとき，変量$u$のデータは次で与えられる．

$2$$4$$5$$1$$-4$$-2$

ここで，変量$u$のデータの平均値$\bar{u}$と分散${s_u}^2$は，$\bar{u}=1\text{，}$${s_u}^2=10$と計算される．これらの値を用いて変量$x$のデータの平均値$\bar{x}$と分散${s_x}^2$を求めると，$\bar{x}=\text{キ}$であり，${s_x}^2=\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)=(-x^2+x)e^x$を考える．$g(x)=f^{\prime }(x)$とおく．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値を求めよ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で，$f(x)$と$g(x)$の増減を調べて$1$つの$xy$平面上に曲線$C_1\text{：}y=f(x)$と曲線$C_2\text{：}y=g(x)$の概形をかけ．

(4)　定積分$S={\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)-g(x)|\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　図のような平行六面体$\mathrm{OADB‐CEFG}$が$\mathrm{\angle AOB}$$=\mathrm{\angle AOC}$$=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BOC}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$$=\mathrm{OC}=1$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{AF}$を$t:(1-t)$$\text{（}0<t<1\text{）}$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$および$t$で表せ．

(4)　(3)のとき，$\mathrm{▵ABC}$が定める平面と直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$および$t$で表せ．

(5)　(4)のとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\right|$を最小にする$t$の値を求めよ