2025　早稲田大学　人間科学部数学選抜方式MathJax

【１】

(1)　$n$を自然数とする．$1$の書かれた球が$1$個，$2$の書かれた球が$2$個，$3$の書かれた球が$3$個，$\cdots \text{，}$$n$の書かれた球が$n$個ある．すなわち，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，$k$の書かれた球がそれぞれ$k$個ある．これらの球すべてが$1$つの袋に入っている．

(a)　袋から球を$1$個取り出すとき，この球に書かれた数が$k$である確率を$k$と$n$の式で表せ．

(b)　袋から球を同時に$2$個取り出すとき，$2$個の球に書かれた数が異なる確率を$n$の式で表せ．

【１】

(2)　点$(x,y)$が不等式${(x-2)}^2+{(y-3)}^2\leqq 1$の表す領域上を動くものとする．

(a)　$x^2+y^2$の最大値を求めよ．

(b)　$5x+5y$がとりうる整数の最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の連立方程式を満たす実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}5x^2+10y^2+13z^2=12xy+4yz+6zx\\ x+2y+3z=20\end{array}$

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において，$3$つの角の大きさを$A\text{，}$$B\text{，}$$C$とし，それぞれの対辺の長さを$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a^2-b^2-c^2=bc$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$を求めよ．

(2)　$b\sin A=4\sin B$かつ${\log }_{10}b+{\log }_{10}c$$\geqq 1$$-2\cos (B+C)$とするとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．

【４】　$1$辺の長さが$6$である正四面体$T$があるとき，次の問いに答えよ．

(1)　正四面体$T$に内接する球$S_1$の半径$r_1$を求めよ．

(2)　半径が$r_2$である球が，(1)の球$S_1$および正四面体$T$の$3$つの面に接する状態で，正四面体$T$の内側に収まっている．このとき，$r_2$を求めよ．

(3)　半径が$r_3$である$4$つの球が，どの球も他の$3$つの球および正四面体$T$の$3$つの面に接する状態で，正四面体$T$の内側に収まっている．このとき，$r_3$を求めよ．

【５】　$a>1$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，必要に応じて，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$であることは証明なしに用いてよい．

(1)　関数$f(x)=x{a}^{-x}$の最大値を求めよ．

(2)　直線$y=x$が，曲線$y=a^x$の接線であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$2$つの曲線$y=a^x$と$y={\log }_{a}x$が$2$つの共有点を持つとき，$a$の満たす条件を求めよ．