2025　早稲田大学　社会科学部MathJax

【１】　自然数$n\text{，}$$p$に対して，$n^p$の$1$の位の数を$f_p(n)$で表す．次の問に答えよ．

(1)　$f_2(n)$の取りうる値を全て求めよ．

(2)　$f_5(n)-f_1(n)$の値を求めよ．

(3)　$f_{100}(n)$の取りうる値を全て求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}\text{，}$すなわち，

$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．次の問に答えよ．

(1)　$a_n=-{\displaystyle \frac{1}{n}}$のとき，$b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_1=1$とする．

(3)　数列$\{b_n\}$が以下を満たすとき，$a_n$を$n$の式で表せ．ただし，$a_1=1$とする．

$\{\begin{array}{l}{b}_1=1\\ b_n=n(n+1)\text{（}n\geqq 2\text{）}\end{array}$

【３】　$\theta$の関数

$f(\theta )=\cos 2\theta$$-\sqrt{3}\sin 2\theta$$+4\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}-\sqrt{3}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})+2\sqrt{3}$

を考える．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．次の問に答えよ．

(1)　$k=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とおくとき，$f(\theta )$を$k$の関数で表せ．

(2)　$f(\theta )$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　(1)の$k$に対して，$\theta$の方程式$f(\theta )=ak$の解の個数を求めよ．ただし，定数$a$は$0<a\leqq 3$とする．