2025　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　正の実数$a$に対して，円$x^2+{(y-a)}^2=a^2$と曲線$y=x^3$がちょうど$2$つの共有点をもつとき，$a=\text{ア}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　数列$\{a_n\}$が次の条件を満たしている．

$a_1=a_{2025}=0\text{，}$$a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=-1$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，一般項$a_n$は$a_n=\text{イ}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．$n$次関数$f(x)$が次の等式を満たしているとき，$f(x)=\text{ウ}$である．

${\displaystyle {\int }_0^x}{\{f(t)\}}^{m-1}\mathit{dt}={(2x)}^{m}f(x)$

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$P$を平面上の正九角形とする．$P$の異なる$2$つの頂点を通る直線をすべて考える．これら$36$本の直線のうちの$3$本により平面上で囲まれてできる正三角形の総数は$\text{エ}$である．ただし，互いに合同でも位置の異なるものは異なる正三角形として数える．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とする．座標平面上の点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}$$\cdots$は以下の条件を満たしているとする．すべての正の奇数$n$に対して，${\mathrm{P}}_n$と$P_{n+1}$は$x$軸に関して対称な位置にある．ただし，${\mathrm{P}}_n$が$x$軸上にあるときは${\mathrm{P}}_n={\mathrm{P}}_{n+1}$であるとする．また，すべての正の偶数$n$に対して，${\mathrm{P}}_n$と${\mathrm{P}}_{n+1}$は直線$y=ax+b$に関して対称な位置にある．ただし，${\mathrm{P}}_n$が直線$y=ax+b$上にあるときは${\mathrm{P}}_n={\mathrm{P}}_{n+1}$であるとする．次の設問に答えよ．

(1)　$a=0\text{，}$$b=1\text{，}$${\mathrm{P}}_1(0,0)$であるとき，${\mathrm{P}}_{2025}$の座標を求めよ．

(2)　$a=1\text{，}$$b=0\text{，}$${\mathrm{P}}_1(2,1)$であるとき，${\mathrm{P}}_{2025}$の座標を求めよ．

(3)　$a=\sqrt{3}\text{，}$$b=0\text{，}$${\mathrm{P}}_1(1,1)$であるとする．$m\text{，}$$n$を正の整数とする．${\mathrm{P}}_m$と${\mathrm{P}}_n$の距離の最大値を求めよ．

【３】　空間内の異なる$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=2\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=1$を満たし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$が点$\mathrm{P}$のみで交わり，$\mathrm{P}$は$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$をそれぞれ

$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)\text{，}$$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$$\text{（}0<s<1\text{，}0<t<1\text{）}$

に内分しているとする．次の設問に答えよ．

(1)　$s$を$t$を用いて表せ．

(2)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{BC}$を軸にして$\mathrm{▵ABP}$を$1$回転させるとき，$\mathrm{▵ABP}$の辺と内部が通過する部分の体積を$V$とする．$V$の最大値を求めよ．