2025　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$k$を自然数とする．次の数

$-1^2+2^2-3^2$$+4^2$$-5^2$$+6^2$$-\cdots$$-{(2k-1)}^2$$+{(2k)}^2$

を$k$を用いて表せ．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,1)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$を考える．三角形$\mathrm{ABC}$をその外心を中心として反時計回りに${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転することで得られる三角形の垂心の座標を求めよ．

　なお，三角形の$3$頂点から対辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は一点で交わり，その交点を三角形の垂心という．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　底面が正$5$角形である$5$角柱の頂点から相異なる$4$点を選ぶとき，$4$点が同一平面上にある確率を求めよ．ただし，$4$点の選び方は同様に確からしいとする．

【１】　次の各問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　$4$つの辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$の長さが$1$である四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．そのような四面体の体積の最大値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$1$から$n$までの数字がもれなく一つずつ記入された$n$枚の赤色のカードと$1$から$n$までの数字がもれなく一つずつ記入された$n$枚の白色のカードがある．この$2n$枚のカードの中から同時に$2$枚を取り出し，カードに記入された数字を確認した後にもとに戻す，という試行を$2$回行う．次の問に答えよ．

(1)　$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字が同じであり，かつ$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字と$2$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字の間に共通の数字が存在しない取り出し方の総数を$n$を用いて表せ．

(2)　$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字が異なり，かつ$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字と$2$回目に取り出した2枚のカードに記入された数字の間に共通の数字が存在しない取り出し方の総数を$n$を用いて表せ．

(3)　$1$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字と$2$回目に取り出した$2$枚のカードに記入された数字の間に共通の数字が存在する確率を$n$を用いて表せ．

【３】　座標平面上で，点$\mathrm{H}(0,2\sqrt{2})$から楕円$C\text{：}{x}^2+2y^2=8$へ引いた$2$つの接線を$L_1\text{，}$$L_2$とし，$L_1\text{，}$$L_2$と$C$との共有点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$とする．ただし，${\mathrm{P}}_1$の$x$座標は正であるとする．次の問に答えよ．

(1)　直線$L_1$と$L_2$それぞれの傾きを求めよ．

(2)　$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$を通る直線を$L_3$とする．直線$L_3$と楕円$C$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$L_3$の上側にある方の面積を求めよ．

【４】　$k$を実数とする．曲線$C\text{：}y=(x^3-x+2)e^{-x}$と直線$y=k$との共有点の個数を$f(k)$で表す．次の問に答えよ．ただし，必要ならば自然数$n$に対し$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-x}=0$が成り立つことは証明なしに用いてよい．

(1)　$k$が実数全体を動くとき，$f(k)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　$f(k)=2$を満たす$k$の値の範囲を求めよ．

(3)　$\alpha$を正の実数とする．曲線$C\text{，}$$x$軸，$y$軸，および直線$x=\alpha$で囲まれる部分の面積を$\alpha$を用いて表せ．