2025　早稲田大学　人間科学部MathJax

【１】(1)　整式$x^4-13x^2+18x-5$を整数係数の範囲で因数分解すると

$(x^2+\text{ア}x+\text{イ})(x^2+\text{ウ}x+\text{エ})$

となる．ただし，$\text{ア}<\text{ウ}$とする．

【１】(2)　方程式

$\sqrt{x+510}+\sqrt{x+822}=52$

の解は$x=\text{オ}$である．

【１】(3)　座標空間における$2$点$({\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}},5,10)$と$(-{\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{2}},10,-4)$を直径の両端とする球面$S$がある．球面$S$が$xy$平面を切り取る領域の面積は$\text{カ}\pi$である．また，球面$S$が$z$軸を切り取る線分の長さは$\sqrt{\text{キ}}$である．

【２】　$a<b<c$を満たす実数の定数に対して，すべての実数を定義域とする$x$の関数$f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|$を定める．このとき，$5x+4f(x)$の最小値は$\text{ク}a+\text{ケ}b+\text{コ}c$である．また，$f(x)$の最小値が$20$で，$f(c)=28$かつ$f(10)=31$を満たす$a$の値は$\text{サ}$と$\text{シ}$である．ただし，$\text{サ}<\text{シ}$とする．

【３】(1)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=4\text{，}$$\cos A={\displaystyle \frac{1}{4}}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{H}$とし，直線$\mathrm{AH}$が$\mathrm{▵ABC}$の外接円と交わる点のうち，点$\mathrm{A}$とは異なる点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}={\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=6\text{，}$$\cos A={\displaystyle \frac{1}{5}}$とする．$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{K}$とし，直線$\mathrm{AK}$が$\mathrm{▵ABC}$の内接円と交わる点のうち，点$\mathrm{A}$に近いほうの点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}={\displaystyle \frac{\text{チ}-\sqrt{\text{ツ}}}{\text{テ}}}\overrightarrow{\mathrm{AK}}$である．

【４】　$k$を実数の定数とする．$z$についての方程式$z^3-5z^2+kz-5=0$の$3$つの解は複素数平面上で斜辺の長さ$2$の直角三角形の頂点となる．このとき，$k=\text{ト}$であり，この直角三角形の面積は$\text{ナ}$である．

【５】　曲線$C\text{：}y=\cos x$$(0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$上の点$(\theta ,\cos \theta )$における接線を$l$とする．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，接線$l$と$x$軸との交点の座標は$({\displaystyle \frac{\pi +\text{ニ}}{\text{ヌ}}},0)$である．

(2)　曲線$C$と接線$l\text{，}$および$x$軸によって囲まれた部分の面積が$1$であるとき，$\sin \theta =\text{ネ}-\sqrt{\text{ノ}}$である．