2025　東邦大学　統一入試MathJax

【１】(1)　$72$と$180$の公約数は全部で$\text{1}$個である．そのうち最大のものは$\text{2}\text{3}$である．

【１】(2)　$1$から$500$までの自然数のうち，$3$の倍数の集合を$\mathrm{P}\text{，}$$5$の倍数の集合を$\mathrm{Q}$とする．このとき，$\mathrm{P}\cap \mathrm{Q}$の要素のうち最大のものは$\text{4}\text{5}\text{6}\text{，}$ $\mathrm{P}\cap \mathrm{Q}$の要素の個数は$\text{7}\text{8}$である．

【１】(3)　$(\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})$を展開して整理すると$\text{9}$である．また，${(\sqrt{6}-\sqrt{3})}^2$を展開して整理すると$\text{10}-\text{11}\sqrt{\text{12}}$である．

【１】(4)　不等式$11x+3\leqq -x+5$の解は$x\leqq {\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}}}$である．また，方程式$2(x^2-2)=x-3$の解は$x=\text{15}\text{，}$$-{\displaystyle \frac{\text{16}}{\text{17}}}$である．

【１】(5)　次のデータは，$5$人の生徒の数学の小テスト$\text{（}20$点満点）における得点である．

$13\text{，}$$15\text{，}$$17\text{，}$$17\text{，}$$18$

この結果について，平均は$\text{18}\text{19}\text{，}$標準偏差は${\displaystyle \frac{\text{20}\sqrt{\text{21}}}{\text{22}}}$である．

【１】(6)　四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接し，$\mathrm{\angle ABC}=95\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BCD}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{BC}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=5$とする．このとき，$\mathrm{\angle ADC}=\text{23}\text{24}\mathrm{°}$である．また，この円の直径は$\text{25}\sqrt{\text{26}}$である．

【１】(7)　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{14}\text{，}$$\mathrm{CA}=2$の$\mathrm{▵ABC}$について，$\cos A={\displaystyle \frac{\text{27}}{\text{28}}}$であり，外接円の半径は$\text{29}\sqrt{\text{30}}$である．

【２】(1)　関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$$+{\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{5}{3}}$のグラフを$x$軸方向に$-\text{31}\text{，}$$y$軸方向に$-\text{32}$平行移動すると，関数$y=-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{7}{3}}$のグラフが得られる．これらの関数の$-3\leqq x\leqq 0$における最大値はそれぞれ${\displaystyle \frac{\text{33}}{\text{34}}}$と$-\text{35}$である．

【２】(2)　$2$次不等式$x^2-4x$$-3>0$の解は$x<\text{36}-\sqrt{\text{37}}\text{，}$$\text{38}+\sqrt{\text{39}}<x$である．また，$2$次関数$y=x^2$$-2kx$$+k+2$のグラフと$x$軸が接するような定数$k$の値は$k=-\text{40}\text{，}$$\text{41}$である．

【２】(3)　さいころを$1$回投げるごとに，偶数の目が出たら$3$点，奇数の目が出たら$0$点を獲得するゲームを行う．$0$点から開始して，$3$回投げ終わったときに得点の合計が$3$点である確率は${\displaystyle \frac{\text{42}}{\text{43}}}$である．また，$0$点から開始して，$6$回投げ終わったときに得点の合計が$9$点である確率は${\displaystyle \frac{\text{44}}{\text{45}\text{46}}}$である．

【２】(1)　$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，$\cos \theta =\pm {\displaystyle \frac{\text{17}}{\sqrt{\text{18}\text{19}}}}\text{，}$$\sin \theta =\mp {\displaystyle \frac{\text{20}}{\sqrt{\text{21}\text{22}}}}$である（複号同順）．

【２】(2)　${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$a=\text{23}\text{，}$$b=\sqrt{\text{24}}-\text{25}$である．また，$a^2-3b^2$$=-\text{26}\text{27}$$+\text{28}\text{29}\sqrt{\text{30}}$である．

【２】(3)　曲線$C\text{：}y=x^2$$-2x+3$の上の点$(3,6)$における接線$l$の方程式は$y=\text{31}x-\text{32}$である．また，$C\text{，}$$l$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\text{33}$である．

【２】(4)　方程式$9^x-6\times 3^x=27$の解は$x=\text{34}$である．また，不等式${\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^x-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{x-1}\leqq 8$の解は$x\geqq -\text{35}$である．

【２】(5)　$2$次方程式$3x^2+4x$$+5=0$の解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$\alpha +\beta =-{\displaystyle \frac{\text{36}}{\text{37}}}\text{，}$$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{\text{38}}{\text{39}}}$である．また，${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}=-{\displaystyle \frac{\text{40}\text{41}}{\text{42}\text{43}}}$である．

【２】(6)　次のように定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=-1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+4$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

一般項は$a_n=\text{44}\times {\text{45}}^{n-1}-\text{46}$である．さらに${\displaystyle \sum _{k=1}^8}{a}_k=\text{47}\text{48}\text{49}$である．

【２】(7)　$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(0,14)\text{，}$$\mathrm{B}(12,9)$について，点$\mathrm{A}$と線分$\mathrm{OB}$の距離は${\displaystyle \frac{\text{50}\text{51}}{\text{52}}}$である．また，$\mathrm{▵OAB}$の内接円の半径は$\text{53}$で，中心の座標は$(\text{54},\text{55})$である．

【２】(1)　複素数平面において，$3$つの複素数$1+3i\text{，}$$2-2i\text{，}$$k+i$の表す点が一直線上にあるとき，実数$k$の値は$k={\displaystyle \frac{\text{26}}{\text{27}}}$である．

【２】(2)　座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,3)$を通る平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$a$と$b$を実数として$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=a\overrightarrow{\mathrm{AB}}+b\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すとき，$a={\displaystyle \frac{\text{28}}{\text{29}\text{30}}}$である．

【２】(3)　関数$f(x)=(\sin x+\cos x)\sin x\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$を考える．$x$が$0\leqq x\leqq \pi$の範囲を動くとき，$t=\sin x+\cos x$のとり得る値の範囲は$-\text{31}\leqq t\leqq \sqrt{\text{32}}$である．$f(x)$の最小値は$-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{33}}}{\text{34}}}$である．

【２】(4)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，整式$x^{n+2}$を整式$3x^2+4x-4$で割った余りを$a_{n}x+b_n$と表す．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}=-{\displaystyle \frac{\text{35}}{\text{36}}}$である．

【２】(5)　座標平面において，直線$y={\displaystyle \frac{3}{4}}x$を$l\text{，}$円${(x-4)}^2+y^2=4$を$C$とする．$C$の中心と$l$の距離は${\displaystyle \frac{\text{37}\text{38}}{\text{39}}}$である．$C$で囲まれた領域を$l$のまわりに$1$回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{40}\text{41}}{\text{42}}}{\pi }^2$である．