2025　東邦大学　理学部B英数択一MathJax

$x=2\cos t\text{，}$$y=2\sin 2t$

について，次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　直線$x=1$と曲線$C$の共有点のうち，第$1$象限にある点$\mathrm{P}$の座標は$\text{ク}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の方程式は，$y=\text{ケ}$である．

(ⅲ)　曲線$C$の$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の部分を表す関数を$y=f(x)$とすると，$f(x)=\text{コ}$である．

(ⅳ)　(ⅲ)で定めた$f(x)$は$x=\text{サ}$のとき最大値$\text{シ}$をとる．

(ⅴ)　曲線$C$によって囲まれる図形の面積は$\text{ス}$である．

(ⅰ)　加法定理を用いて，$\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )\}$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$m\text{．}$$n$を相異なる正の整数とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}\sin mx\sin nx\mathit{dx}=0$であることを示せ．

(ⅲ)　$n$を正の整数とするとき，${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{\sin }^{2}nx\mathit{dx}=\pi$であることを示せ．

(ⅳ)　$n$を正の整数とするとき，定積分${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}x\sin nx\mathit{dx}$の値を，$n$が偶数の場合と奇数の場合に分けて求めよ．

(ⅴ)　実数$a\text{，}$$b$に対し，定積分$S={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}{(x-a\sin x-b\sin 2x)}^2\mathit{dx}$の値が最小になる$a\text{，}$$b$と，そのときの$S$の値を求めよ．