2025　東邦大学　理学部B日程共通MathJax

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$a={\log }_{10}2\text{，}$$b={\log }_{10}3$とするとき，${\log }_{10}2025$を$a$と$b$の式で表すと，$\text{ア}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$3$個のサイコロを同時に投げるとき，すべてのサイコロの目が異なる確率は$\text{イ}$であり，ちょうど$2$つのサイコロの目が等しくなる確率は$\text{ウ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が$\left|\overrightarrow{a}\right|=3\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{15}$を満たすとする．内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{エ}$である．また，$t$が実数のとき$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$の最小値は$\text{オ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　三角形$\mathrm{ABC}$の各辺の長さが，$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=8$であるとき，$\cos B=\text{カ}$である．また，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{BD}=\text{キ}$である．

【１】　次の$$に適する解答を，解答用紙の定められた場所に記入せよ．

(ⅴ)　$k$を正の実数とし，点$(0,2)$を通り，傾きが$k$である直線を$l$とする．点$(4,2)$と直線$l$の距離が$2$であるとき，$k=\text{ク}$である．

【２】　関数$f(x)=2x^3$$-9x^2$$+12x-4$を考える．次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　$f(2)=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　$f^{\prime }(x)=\text{コ}$である．

(ⅲ)　定義域が$-1\leqq x\leqq 1$のとき，$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点の座標は$(\text{サ},0)$である．

(ⅳ)　定義域が$0\leqq x\leqq 2$のとき，$f(x)$の最大値は$\text{シ}\text{，}$最小値は$\text{ス}$である．

(ⅴ)　$k$を実数とし，$f(x)$の定義域を$k\leqq x\leqq k+2$とする．$f(x)$の最大値が$1$となるときの，$k$の条件は$\text{セ}$である．

【３】　図のように，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円において，中心角$x$$(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$の扇形$\mathrm{OAB}$を考える．また，点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線が直線$\mathrm{OB}$と交わる点を$\mathrm{T}$とする．

(ⅰ)　扇形$\mathrm{OAB}$の面積，三角形$\mathrm{OAB}$の面積，および，三角形$\mathrm{OAT}$の面積をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(ⅱ)　$x\text{，}$$\sin x\text{，}$および，$\tan x$の間の大小関係を，$<<$のように，不等号を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅳ)で求めた不等式に$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$を代入して得られる不等式を$m<\pi <n$とするときの$m\text{，}$$n$の値を求めよ．

(ⅳ)　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であることに留意して，$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$および$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{12}}$を求めよ．

(ⅴ)　(ⅱ)で求めた不等式に$x={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$を代入して得られる不等式を$m^{\prime }<\pi <n^{\prime }$とするときの$m^{\prime }\text{，}$$n^{\prime }$の値を求めよ，

(ⅵ)　$m<m^{\prime }$および$n^{\prime }<n$であることをそれぞれ示せ．ただし，$1.41<\sqrt{2}<1.42\text{，}$$1.73<\sqrt{3}<1.74$であることを利用してよい．