2025　東邦大学　医学部医学科MathJax

2025-13460-0201

2025　東邦大学　医学部医学科

2月4日実施

易□　並□　難□

【１】　数列 $a_{1},$ $a_{2},$ $\dots,$ $a_{n}, \dots$ について，第 $1$ 項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 5 n (n - 12)$ で与えられる． $S_{n} = 2025$ となる $n$ の値は $n = アイ$ であり， $a_{n} = 1925$ となる $n$ の値は $n = ウエオ$ である．

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【２】　 $▵ABC$ において，辺 $BC$ を $1 : 2$ に内分する点を $P ，$ 辺 $CA$ を $3 : 4$ に内分する点を $Q ，$ 線分 $AP$ と線分 $BQ$ の交点を $O$ とする．このとき， $\frac{▵OAC}{▵OBC} = \frac{カ}{キ}$ である．線分 $OC$ と線分 $PQ$ の交点を $S$ とすると， $\frac{PS}{QS} = \frac{ク}{ケコ}$ である．

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【３】　 $x, y$ 平面における $2$ つの曲線 $y = \sqrt{13} \cos x ，$ $y = \sqrt{5} \sin x$ について， $0 ≦ x ≦ π$ および $π < x ≦ 2 π$ の範囲での交点の $x$ 座標をそれぞれ $α ，$ $β$ とする．このとき， $α$ について $\cos α = \frac{\sqrt{サシ}}{ス}$ が成り立ち， $α ≦ x ≦ β$ の範囲において $2$ つの曲線で囲まれた部分の面積は $セ \sqrt{ソ}$ である．

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【４】　 $5^{100}$ は $アイ$ 桁の数である．ただし， $\log_{10} 2 = 0.301$ とする．また，ある正の整数 $a$ について $a^{100}$ が $85$ 桁の数であるとき， ${(5 a^{2})}^{10}$ は $ウエ$ 桁の数である．

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【５】　 $1$ から $15$ までの自然数から異なる $3$ 個の自然数を選ぶ選び方のうち，選んだ $3$ 個の自然数の積が $3$ の倍数となるような選び方は $オカキ$ 通りあり，選んだ $3$ 個の自然数の和が $3$ の倍数となるような選び方は $クケコ$ 通りある．

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【６】　 $k$ を正の定数とし， $3$ 次関数 $f (x) = k x^{3}$ $- x^{2} + 1$ に対して方程式 $f (x) = 0$ は異なる $3$ つの実数解をもつ．このとき，定数 $k$ の値の範囲は $0 < k < \frac{サ \sqrt{シ}}{ス}$ である．座標平面における曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた $2$ つの部分の面積が等しくなるような定数 $k$ の値は $k = \frac{\sqrt{セ}}{ソ}$ である．

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【７】　 $i$ を虚数単位とする．複素数平面において，方程式 $| z + 1 + 3 i |$ $= | z - 7 - 3 i |$ を満たす点 $z$ の全体を $C_{1} ，$ 方程式 $| z - 3 i |$ $= | 3 z - i |$ を満たす点 $z$ の全体を $C_{2}$ とする．複素数 $z$ が $C_{1}$ 上を動くとき， $| z |$ の最小値は $\frac{アイ}{ウ}$ である．複素数 $z_{1} ，$ $z_{2}$ がそれぞれ $C_{1} ，$ $C_{2}$ 上を動くとき， $| z_{1} - z_{2} |$ の最小値は $\frac{エ}{オ}$ である．

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【８】　 $x, y, z$ 空間に， $3$ 点 $A (1, 0, 0) ，$ $B (0, 2, 0) ，$ $C (0, 0, 3)$ の定める平面 $ABC$ がある．点 $C$ から直線 $AB$ に垂線 $CH$ を下ろすとき，点 $H$ の $x$ 座標は $\frac{カ}{キ}$ である．平面 $ABC$ 上に点 $A$ を中心とする半径 $7$ の円があるとき，円周上の点の $z$ 座標がとり得る最大の値は $ク \sqrt{ケ}$ である．

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【９】　 $a$ を実数とし， $f (x) = | x^{2} - a |$ $- 4 x + 8$ とする． $f (x)$ が極大値 $30$ をとるような $a$ の値は $a = コサ$ である．また， $f (x)$ が最小値 $- 12$ をとるような $a$ の値は $a = シス$ である．

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【10】　不等式 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} ≧ \frac{1}{2^{3}}$ を満たす自然数 $n$ で最大のものは $セソ$ である．不等式 $\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} ≧ \frac{1}{2^{10}}$ を満たす自然数 $n$ で最大のものは $タチ$ である．