2025　東邦大学　理学部A日程MathJax

【２】　$\theta$を$0<\theta <\pi$を満たす定数とし，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$をそれぞれ

$a_n={\log }_4\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}\text{，}$$b_n={\log }_4\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2^n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義する．次の$$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　${\log }_{4}2=\text{ケ}$である．

(ⅱ)　とくに$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$a_1=\text{コ}$である．

(ⅲ)　$\sin$に関する$2$倍角の公式$\sin 2x=\text{サ}$を用いると，$b_1$は$a_2$と$b_2$を用いて$b_1=\text{シ}$と表せる．

(ⅳ)　(ⅲ)と同様の計算で，$b_k-b_{k+1}$は，$a_{k+1}$を用いて$b_k-b_{k+1}=\text{ス}$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$と表せる．

(ⅴ)　(ⅳ)の結果から，$\{a_n\}$の第$2$項から第$N+1$項までの和は$N$と$\theta$を用いて

${\displaystyle \sum _{k=2}^{N+1}}{a}_k={\displaystyle \sum _{k=1}^N}{a}_{k+1}=\text{セ}$と表せる．

(ⅰ)　曲線$C_2$の概形を描け．とくに$C_2$と$x$軸との共有点，関数$g(x)$の極値を与える点とそれらの座標を図中に記せ．

(ⅱ)　$C_1$と$C_2$が共有点$\mathrm{P}$をもち，さらに点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつ場合を考える．点$\mathrm{P}$の$x$座標が正であるとき，この共通の接線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた接線$l$と曲線$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(ⅳ)　$x\leqq 0$を満たす任意の実数$x$に対して$f(x)\geqq g(x)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

(ⅴ)　$s\leqq 0\text{，}$$t\leqq 0$を満たす任意の実数$s\text{，}$$t$に対して$f(s)\geqq g(t)$が成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．