2025　東京理科大学　総合型選抜MathJax

【１】　$(2n+1)$枚のカードがあり，$1$枚目のカードに$1\text{，}$$2$枚目のカードに$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$(2n+1)$枚目のカードに$(2n+1)$が書かれている．これら$(2n+1)$枚のカードから$3$枚を取り出す．$3$枚のカードに書かれている数字を小さい順に並べると，公差が$k$の等差数列になる確率を$P(n,k)$とし，また，$3$枚のカードに書かれている数字を小さい順に並べると，等差数列になる確率を$Q(n)$とする．ただし，$n$は$1$以上の整数，$k$は$1$以上$n$以下の整数とする．

(1)　$P(3,1)\text{，}$$P(3,2)\text{，}$$Q(3)$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$P(4,k)$を求めなさい．

(3)　$Q(n)$を求めなさい．

【２】　不等式$1\leqq {\log }_{2}y$$\leqq 2{\log }_{2}x+{\log }_2(3-x)$$\cdots \text{①}$があり，$\text{①}$が表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を座標平面に図示しなさい．

(2)　領域$D$の面積$S$を求めなさい．

(3)　$x$と$y$が$\text{①}$を満たしながら動くとき，$5x-3y$の最大値$M$と最小値$m$をそれぞれ求めなさい．