2025　東京理科大学　理学部第二部数学科3月4日実施MathJax

【１】　次の$$内のアからナにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表すものとし，$$は$2$桁の数を表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　座標平面上の楕円$x^2+y^2=2$を$C$とする．

(1)　$C$上の第$1$象限の点${\mathrm{P}}_1(1,{\displaystyle \frac{1}{\text{ア}}}\sqrt{\text{イ}})$における接線$l_1$の方程式は，

$y=-{\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}\sqrt{\text{エ}}x+\sqrt{\text{オ}}\text{，}$

点${\mathrm{P}}_1$における法線$l_2$の方程式は，

$y=\sqrt{\text{カ}}x-{\displaystyle \frac{1}{\text{キ}}}\sqrt{\text{ク}}$

である．$C$と$l_2$の交点は${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2(-{\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}},-{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}})$であり，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の距離は${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\sqrt{\text{チ}}$である．

(2)　$C$と傾きが$2$の直線が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わるとき，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$間の距離の最大値は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}\sqrt{\text{ト}\text{ナ}}$である．

【２】　次の$$内のニからン，あからかにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　$n$を自然数とする．$3$個の数字$2\text{，}$$3\text{，}$$5$を重複を許して並べ$n$桁の整数を作る．

(1)　同じ数字が隣り合わないような$n$桁の整数を全て作るとき，その整数の個数を$a_n$とすると，$a_1=\text{ニ}\text{，}$$a_n=\text{ヌ}\cdot {\text{ネ}}^{n-1}$である．

(2)　同じ数字が隣り合ってもよいが，数字$2$と数字$3$が隣り合わないように$n$桁の整数を全て作るとき，その整数の個数を$b_n$とすると，$b_1=\text{ノ}\text{，}$$b_2=\text{ハ}$である．そのうち，$n$桁目の数字$\text{（}{10}^{n-1}$の位の数字）が$2\text{，}$$3\text{，}$$5$となる整数の個数を，それぞれ$c_n\text{，}$$d_n\text{，}$$e_n$とすると，$b_n=c_n$$+d_n+e_n$である．また，

$c_{n+1}=c_n+\text{ヒ}{d}_n+e_n\text{，}$

$d_{n+1}=\text{ヘ}{c}_n+d_n+\text{ホ}{e}_n\text{，}$

$e_{n+1}=c_n+\text{マ}{d}_n+\text{ミ}{e}_n$

であることに注意すると，

$b_{n+2}=\text{ム}{b}_{n+1}+\text{メ}{b}_n$

となる．したがって，$f_n=b_{n+1}-(1+\sqrt{2})b_n$とおくと

$f_{n+1}=(\text{モ}-\sqrt{\text{ヤ}})f_n$

が成り立つ．また，$g_n=b_{n+1}-(1-\sqrt{2})b_n$とおくと

$g_{n+1}=(\text{ユ}+\sqrt{\text{ヨ}})g_n$

が成り立つ．このことから，

$b_n=({\displaystyle \frac{\text{ラ}}{2}}+\sqrt{\text{リ}}){(\text{ル}+\sqrt{\text{レ}})}^{n-1}$

$+({\displaystyle \frac{\text{ロ}}{2}}-\sqrt{\text{ワ}}){(\text{ヲ}-\sqrt{\text{ン}})}^{n-1}$

である．

(3)　(2)の方法で作る$n$桁の整数とその個数$b_n$について考える．その$n$桁の整数のうち$5$の倍数の個数は，

$\text{あ}{b}_n+\text{い}{b}_{n-1}$

である．ただし$b_0=1$とする．

(4)　(2)の方法で作る$n$桁の整数とその個数$b_n$について考える．その$n$桁の整数のうち$2$の倍数の個数は，

${\displaystyle \frac{\text{う}}{\text{え}}}{b}_n-{\displaystyle \frac{\text{お}}{\text{か}}}{b}_{n-1}$

である．ただし$b_0=1$とする．

【３】　$i$を虚数単位とする．複素数平面において，点$z_1$を

$z_1={\left({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}+i}}\right)}^5$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　$z_1$の偏角を求めよ．

(2)　${(z_1)}^n$が虚軸上にあるような最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　点$z_2$を，(2)で求めた$n$に対する${(z_1)}^n$とする．点$z_1$と点$z_2$を頂点とする正三角形の残りの頂点を全て求めよ．また，その正三角形の面積を求めよ．

(4)　点$z_2$を(3)のとおりとする．(3)で求めた頂点のうち，絶対値が小さいものを$z_3$とする．複素数の偏角を$0$以上$2\pi$未満で表すとき，

$\arg \left({\displaystyle \frac{z-z_2}{z-z_3}}\right)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$または$\arg \left({\displaystyle \frac{z-z_2}{z-z_3}}\right)={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$

を満たす点全体の集合を複素数平面上に図示せよ．ただし$z$は$z_2\text{，}$$z_3$と異なるとする．

【４】　$x>1\text{，}$$y>1$である実数$x\text{，}$$y$に対して$A(x,y)$と$B(x,y)$の値を定積分

$A(x,y)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\sin \theta )}^{2x-1}{(\cos \theta )}^{2y-1}\mathit{d\theta }\text{，}$$B(x,y)={\displaystyle {\int }_0^1}{t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathit{dt}$

と定める．ただし，正の実数$a$に対し$0^a=0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{B}(2,2)$を求めよ．

(2)　$A(x,y)={\displaystyle \frac{1}{2}}B(x,y)$となることを示せ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{(\sin \theta )}^8{(\cos \theta )}^3\mathit{d\theta }$を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{t-t^2}\mathit{dt}$を求めよ．