2025　東京理科大学　理学部第二部3月4日実施MathJax

【１】　次の$$内のアからソにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$は$2$桁，$3$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，曲線$y=1-x^2$$\text{（}0<x<1\text{）}$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(t,1-t^2)$とする．次に$x$軸上の点$\mathrm{Q}$と$y$軸上の点$\mathrm{R}$を四角形$\mathrm{OQPR}$が長方形であるように定める．長方形$\mathrm{OQPR}$の面積を$S$とし，長方形$\mathrm{OQPR}$を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とする．

(1)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$S$は$t={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\sqrt{\text{カ}}$をとる．

(2)　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$V$は$t={\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\sqrt{\text{ケ}}$のとき最大値${\displaystyle \frac{\text{コ}\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}}\pi$をとる．

【２】　次の$$内のタからホにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)　恒等式${\displaystyle \frac{1}{x^2+x-2}}$$={\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$$-{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$が成り立つ．

(2)　$t\geqq 2$を満たす実数$t$に対し，$I(t)={\displaystyle {\int }_2^t}{\displaystyle \frac{1}{x^2+x-2}}\mathit{dx}$と定める．このとき，$I(2)=\text{ト}\text{，}$$I(3)={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}\log {\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$である．また，

$\underset{t\to \infty }{\lim }I(t)={\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハ}}}\log 2$

が成り立つ．

(3)　$n\geqq 2$を満たす整数$n$に対し，$S_n={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2+k-2}}$と定める．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{\text{ヒ}\text{フ}}{\text{ヘ}\text{ホ}}}$

が成り立つ．

【３】　次の$$内のマからルにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　多項式$f(x)$を$f(x)={(x^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+5x-20)}^4$と定める．

(1)　$f(x)$の展開式における$x^{12}$の項の係数は$\text{マ}\text{，}$$x^{11}$の項の係数は$\text{ミ}$である．

(2)　方程式$f(x)=0$の実数解は$x=\text{ム}$であり，虚数解は$x=-{\displaystyle \frac{\text{メ}}{\text{モ}}}\pm {\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}\sqrt{\text{ヨ}\text{ラ}}i$である．ただし，$i$は虚数単位である．

(3)　関数$g(x)$を$g(x)={\displaystyle \frac{1}{x^4}}{(x^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+5x-20)}^4$と定める．$x$が$x>0$の範囲を動くとき，$g(x)$は$x=\text{リ}$で最小値$\text{ル}$をとる．

【４】　次の$$内のレからン，あからとにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁，$4$桁の数を表すものとし，分数は既約分数として表すものとする．また，根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小になる形で答えなさい．

　$1$辺の長さが$60$の正三角形$\mathrm{AOB}$に対し，$3$つのベクトル$\overrightarrow{v_1}\text{，}$$\overrightarrow{v_2}\text{，}$$\overrightarrow{v_3}$を

$\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{\mathrm{AO}}\text{，}$$\overrightarrow{v_2}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{v_3}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$

で定める．また，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$を$\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1}\text{，}$$\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2}\text{，}$$\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_3}$であるようにとる．

(1)　$\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2={\displaystyle \frac{\text{レ}}{\text{ロ}}}\pi \text{，}$${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2=\text{ワ}\text{ヲ}\sqrt{\text{ン}}$である．

(2)　$\theta =\mathrm{\angle }{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_2$とすると，$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{あ}}{\text{い}\text{う}\text{え}}}\sqrt{\text{お}\text{か}\text{き}}\text{，}$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{く}}{\text{け}\text{こ}\text{さ}}}\sqrt{\text{し}\text{す}\text{せ}}$である．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{w}$が$|\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{w}|$$=|\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{w}|$$=|\overrightarrow{v_3}-\overrightarrow{w}|$を満たすとき，

$|\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{w}|={\displaystyle \frac{\text{そ}}{\text{た}}}\sqrt{\text{ち}\text{つ}\text{て}\text{と}}$

である．

【５】　次の$$内のなからひにあてはまる$0$から$9$までの整数を求めて，解答用マークシートの指定された行にあるその数をマークしなさい．ただし，$\text{，}$$$はそれぞれ$2$桁，$3$桁の数を表すものする．

(1)　等式$x+y=6$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y$の組は，全部で$\text{な}$個ある．

(2)　等式$x+y+z=6$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組は，全部で$\text{に}\text{ぬ}$個ある．

(3)　等式$x+y+z=6$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組のうち，$x\leqq y\leqq z$となるものは全部で$\text{ね}$個ある．

(4)　等式$x+y+z=100$を満たす$0$以上の整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組のうち，$x\leqq y\leqq z$となるものは全部で$\text{の}\text{は}\text{ひ}$個ある．