2025　東京理科大学　グローバル方式2月18日実施MathJax

【１】　${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}-2}}$を超えない最大の整数を$a$とし，$b={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}-2}}-a$とするとき

$a=\text{ア}\text{，}$$b=\sqrt{\text{イ}}-\text{ウ}$

である．また

${(a+b)}^{3}b$$-4b(a+b)$$=\text{エ}\text{オ}+\text{カ}\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$

である．さらに，$x={\displaystyle \frac{1}{b}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{a+b}}$とするとき

$x^3+23x^3{y}^3$$-3x^{2}y$$-x^2$$+3x{y}^2$$-2xy$$-y^3$$-y^2={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$

である．

【２】　$a$を定数とし，関数$f(x)$を

$f(x)=9^{x+1}$$-3^{x+3}$$+a+4$

とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$x$の方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は

$-\text{ア}<a<{\displaystyle \frac{\text{イ}\text{ウ}}{\text{エ}}}$

である．

(2)　$x$の方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの正の実数解をもつような$a$の範囲は

$\text{オ}\text{カ}<a<{\displaystyle \frac{\text{キ}\text{ク}}{\text{ケ}}}$

である．

【３】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点

$\mathrm{A}(1,-2,4)\text{，}$$\mathrm{B}(2,-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(-4,6,-2)$

をとる．この$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{D}(x+2,2,2x)$が平面$\alpha$上にあるような$x$の値を求めると

$x=-{\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$

である．

(2)　線分$\mathrm{AC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(-{\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}},\text{キ},{\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}})$

である．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と(2)で求めたペクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の両方に垂直で，大きさが$5$であるべクトルのうち，$z$成分が負となるものが$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$となるように点$\mathrm{Q}$をとる．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(-{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}\sqrt{\text{シ}},-{\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}},-{\displaystyle \frac{\text{タ}}{\text{チ}}}\sqrt{\text{ツ}})$

である．

(4)　点$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$を中心とし，(3)で定めた点$\mathrm{Q}$を通る球の半径は

$\sqrt{\text{テ}\text{ト}}$

である．

【４】　$a\text{，}$$k$を自然数とする．$a$種類のカードが各々十分たくさんある．これから$k$枚のカードを選ぶ．また，${}_{n}C_r={\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}}$は二項係数を表す．

(1)　$k=2$のとき，選ぶ組合せの総数$f(a)$は

$f(a)={\displaystyle \frac{a(a+\text{ア})}{2}}$

である．$a>1$のとき

$a^2-f(a)={}_{a}C_{\text{イ}}$

となる．

(2)　$k=3$のとき，選ぶ組合せの総数$p(a)$は

$p(a)={\displaystyle \frac{1}{\text{ウ}}}a(a^2+\text{エ}a+\text{オ})$

である．$a>2$のとき

$a^3-p(a)$$=\text{カ}\times {}_{a}C_3$$+\text{キ}\times {}_{a}C_2$

となる．

【５】　定数$a$は，$0<a<1$をみたすとする．また，$e$は自然対数の底で，$\log$は自然対数を表す．

(1)

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{a}^x\sin x\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{a}^x\cos x\mathit{dx}$

とする．$J$に部分積分法を用いると，$J=-(\log a)I$と表せる．また$I$は$J$を用いて

$I=a^{\text{ア}\pi }+\text{イ}+(\log a)J$

と表せる．

(2)　座標平面で曲線$C\text{：}y=a^x\sin x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸で囲まれた図形を考える．$C$と$x$軸で囲まれた図形のうち，$x$軸の上側にあるものを$y$軸に近い順に

$D_1\text{，}$$D_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$D_k\text{．}\cdots$

とする．また，その面積をそれぞれ順に

$s_1\text{，}$$s_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$s_k\text{，}\cdots$

とする．$s_k$を求めると

$s_k={\displaystyle \frac{1}{1+{(\log a)}^2}}\{a^{(\text{ウ}k-\text{エ})\pi }+a^{\text{オ}(k-1)\pi }\}$

である．

　$s_1$から$s_n$までの和を$S_n$とすると，$n\geqq 1$のとき

$S_n={\displaystyle \frac{1}{1+{(\log a)}^2}}\left\{{\displaystyle \frac{1-a^{\text{カ}n\pi }}{1-a^{\pi }}}\right\}$

である．その極限値は

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n={\displaystyle \frac{1}{1+{(\log a)}^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{1-a^{\text{キ}\pi }}}$

である．

【６】(1)　複素数$z$に対して，$\bar{z}$で$z$と共役な複素数を表す．複素数平面上で，方程式

$z\bar{z}-9=0$$\cdots \text{①}$

をみたす点$z$全体について考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(a)　複素数平面上で，方程式$\text{①}$をみたす点$z$全体は，原点を中心とした半径$\text{ア}$の円である．

(b)　複素数平面上の点$w$に対して$w=x+yi$$\text{（}x\text{，}$$y$は実数）とする．点$z$が方程式$\text{①}$を満たしながら動くとき，点$w=z-{\displaystyle \frac{1}{z}}$が描く図形の式を$x$と$y$を用いて表すと

${\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}\text{ク}}}{y}^2＝1$

となる．

【６】(2)　点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で，$2$点$(2,0)\text{，}$$(-2,0)$を焦点とし，焦点からの距離の和が${\displaystyle \frac{20}{3}}$である楕円を考える．この楕円上の点$\mathrm{P}(p,q)$における接線を$l$とする．ただし$p\text{，}$$q$は正の実数とする．$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$とし，$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．

　$\mathrm{▵OAB}$の面積を最小にする点$\mathrm{P}$の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\sqrt{2},{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\sqrt{2})$

となり，そのときの面積は

${\displaystyle \frac{\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}}}$

である．