2025　東京理科大学　理学部数,応用数学科B方式2月5日実施MathJax

【１】　座標平面内の点で$x$座標，$y$座標がすべて整数である点を格子点とよぶ．自然数$n$に対して，以下の条件

$0<x\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}\text{，}$$0<y\leqq {\displaystyle \frac{n}{2}}\text{，}$${\displaystyle \frac{n}{2}}\leqq x+y$

をすべてみたす格子点$(x,y)$の個数を$A_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A_5\text{，}$$A_6\text{，}$$A_7$を求めよ．ただし答えのみでよい．

(2)　自然数$n$に対して$A_{2n+1}$を求めよ．また$2$以上の自然数$n$に対して$A_{2n}$を求めよ．

(3)　自然数$m$に対して${\displaystyle \sum _{n=1}^m}{\displaystyle \frac{1}{A_{2n+1}}}$を求めよ．

(4)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{n=2}^m}{\displaystyle \frac{1}{A_{2n}}}$を求めよ．

(5)　$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{m}}{\displaystyle \sum _{n=m}^{2m}}\log {\displaystyle \frac{A_{4m+1}}{A_{2n+1}}}$を求めよ．ただし対数は自然対数を表す．

【２】　$a$を正の実数とする．このとき$x$の関数$f(x)=a{x}^2$を考える．座標平面において，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における法線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t>0$のとき，直線$l$と曲線$y=f(x)$の$2$つの共有点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる共有点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とおく．点$\mathrm{P}$が$t>0$の範囲で動くとき，$q$が最大となるときの点$\mathrm{Q}$の$y$座標を求めよ．また$q$の最大値を与える$t$の値を求めよ．

(3)　$k$を実数とし，直線$y=k$と$l$の交点を$\mathrm{R}$とおく．また点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．点$\mathrm{P}$が$t\geqq 0$の範囲で動くときの$r$の最小値を$k$と$a$を用いて表せ．

(4)　不等式${\displaystyle \frac{2}{a}}\geqq y\geqq f(x)$の表す領域を$D$とする．点$\mathrm{P}$が$t\geqq 0$の範囲で動くとき，領域$D$のなかで直線$l$が通る部分の面積$S(a)$を求めよ．

(5)　$a$が変数$u$の関数$a=u{e}^{-3u}$$\text{（}u>0\text{）}$であるとき，(4)で求めた面積$S(a)$が最小となる$u$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．ただし$e$は自然対数の底とする．