2025　東京理科大学　薬学部B方式2月7日実施MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．座標平面上の曲線$y=\sqrt{a-x^4}$$\text{（}-\sqrt[4]{a}<x<\sqrt[4]{a}\text{）}$を$C_1$とし，原点を中心とする直径$\sqrt{6}$の上半円を$C_2$とする．このとき，$C_1$と$C_2$が異なる$2$つの共有点で接するという．ただし，$2$つの曲線が共有点$\mathrm{A}$で接するとは，$2$つの曲線が点$\mathrm{A}$において共通の接線を持つことである．

(1)　$a={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$であり，$2$つの共有点のうち$x$座標が正であるものは

$({\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\sqrt{\text{オ}},\text{カ})$

である．

(2)　共有点$({\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}\sqrt{\text{オ}},\text{カ})$における共通の接線を$l$とする．$l$の方程式は

$y=-{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}\sqrt{\text{ケ}}x+{\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$

である．

(3)　$C_1$と$C_2$によって囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}}}\sqrt{\text{ソ}}\pi$である．

【２】　赤球が$1$個，白球が$2$個それぞれ入った袋$\mathrm{A}$と，赤球が$1$個，白球が$2$個，青球が$2$個，黄球が$1$個それぞれ入った袋$\mathrm{B}$がある．

(1)　袋$\mathrm{A}$の中をよくかき混ぜてから球を$1$個取り出し，球の色を調べて袋$\mathrm{A}$に戻すという試行を$6$回繰り返す．赤球を$k$回$\text{（}k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$6\text{）}$取り出す確率を$p_k$とする．

(a)　$p_4={\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}}}$である．

(b)　$k=\text{カ}$のとき$p_k$は最大で，その値は${\displaystyle \frac{\text{キ}\text{ク}}{\text{ケ}\text{コ}\text{サ}}}$である．

(c)　赤球を$3$回以上取り出す確率は${\displaystyle \frac{\text{シ}\text{ス}\text{セ}}{\text{ソ}\text{タ}\text{チ}}}$である．

(d)　${\displaystyle \sum _{k=0}^6}{k}^2{p}_k={\displaystyle \frac{\text{ツ}\text{テ}}{\text{ト}}}$である．

(2)　袋$\mathrm{B}$の中をよくかき混ぜてから球を$1$個取り出し，球の色を調べて袋$\mathrm{B}$に戻すという試行を$6$回繰り返す．赤球，白球，青球，黄球を取り出す回数を，それぞれ$k_1\text{，}$$k_2\text{，}$$k_3\text{，}$$k_4$とする．ただし，$k_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{）}$は$0$以上$6$以下の整数である．

(a)　$(k_1,k_2,k_3,k_4)=(1,1,2,2)$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}\text{ヌ}\text{ネ}}}$である．

(b)　$k_1+k_3=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ノ}\text{ハ}}{\text{ヒ}\text{フ}}}$である．

(c)　$k_1+k_2+k_4\geqq 4$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ヘ}\text{ホ}\text{マ}}{\text{ミ}\text{ム}\text{メ}}}$である．

【３】(1)(a)　$x$と$y$を正の実数とする．連立方程式

$\{\begin{array}{l}xy=64\\ 2{\log }_{x}y+3{\log }_{y}x=7\end{array}$

の解は$(x,y)=(\text{ア}\text{イ},\text{ウ})\text{，}$$(\text{エ}\sqrt{2},\text{オ}\text{カ}\sqrt{2})$である．

【３】(1)(b)　$u$と$v$がともに自然数であるとき，方程式

${\log }_{2}u+{\log }_{2}v$$=1$$+{\log }_2(3u+2v-9)$

を満たす$u$の値は，小さい順に$u=\text{キ}\text{，}$$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}\text{，}$$\text{サ}\text{，}$$\text{シ}\text{ス}$である．

【３】(2)　$A\geqq 0$かつ$B\geqq 0$かつ$A+B={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$とする．

(a)　$\sqrt{6}(\sin A+\sin B)$の最小値は${\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}\sqrt{2}$であり，最大値は$\text{タ}\sqrt{2}$である．

(b)　$6\sin A\sin B$の最小値は$\text{チ}$であり，最大値は${\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}$である．

(c)　$\sqrt{6}(\sin A+\sin B)$$-3\sin A\sin B$の最小値は$\text{ト}\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$であり，最大値は${\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}$である．

【３】(3)　$s$を$s>0\text{，}$$s\ne 1$である定数とし，

$f(x)={\displaystyle \frac{s^x+s^{-x}}{s^x-s^{-x}}}$$\text{（}x\ne 0\text{）}$

とおく．

(a)　$f(x)$のとり得る値の範囲は$f(x)<-\text{ノ}\text{，}$$f(x)>\text{ハ}$である．

　$t$を定数とする．

(b)　方程式$f(x)=tx$の解が存在するための定数$s$と$t$の条件は，$s>\text{ヒ}$であるとき$t>\text{フ}\text{，}$$\text{へ}<s<\text{ホ}$であるとき$t<\text{マ}$である．

(c)　方程式$f(x)=t\sin x$の解が存在するための定数$t$の条件は，$\left|t\right|>\text{ミ}$である．

【４】　$xy$平面において，放物線$y=a{x}^2+b$$\text{（}a\ne 0\text{）}$と曲線$y=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$が点$\mathrm{P}(e^2,2)$を共有し，かつ点$\mathrm{P}$において共通の接線$l$を持つとする．ただし，$\log$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$a={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}{e}^{-\text{ウ}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}$であり，点$\mathrm{P}$における共通の接線$l$の方程式は，

$y=e^{-\text{カ}}x+\text{キ}$

である．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$l^{\prime }$とし，$l^{\prime }$の$x$軸との交点を点$\mathrm{Q}$とする．$l^{\prime }$の方程式は，

$y=-e^{\text{ク}}x$$+e^{\text{ケ}}+\text{コ}$

であり，点$\mathrm{Q}$の座標は，$(e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}},0)$である．

(3)　$x$軸と直線$x=e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}}$および曲線$y=\log x$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，

$S=(e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}})\log (e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}})$$-e^{\text{セ}}$$-\text{ソ}{e}^{-\text{タ}}+\text{チ}$

である．

(4)　$x$軸と直線$x=e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}}$および曲線$y=\log x$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とするとき，

$V=\pi \{(e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}}){(\log (e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}}))}^{\text{ツ}}$$-\text{テ}(e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}})\log (e^{\text{サ}}+\text{シ}{e}^{-\text{ス}})$$+\text{ト}{e}^{\text{ナ}}+\text{ニ}{e}^{-\text{ヌ}}-\text{ネ}\}$

である．