2025　東京理科大学　先進工学部B方式2月4日実施MathJax

【１】　$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータが，$5$つの$x\text{，}$$y$の値の組$(x_1,y_1)\text{，}$$(x_2,y_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$(x_5,y_5)$として，以下の表のように与えられているとする．

(1)　$x$のデータの平均値は$\text{ア}.\text{イ}\text{，}$分散は$\text{ウ}.\text{エ}$であり，$y$のデータの平均値は$-\text{オ}.\text{カ}\text{，}$分散は$\text{キ}.\text{クケ}$である．また，$x$と$y$のデータの共分散は$-\text{コ}.\text{サシ}\text{，}$相関係数は$-\text{ス}.\text{セソ}$である．

(2)　実数$a\text{，}$$b$とし，$x$のデータの平均値を$\bar{x}\text{，}$$y$のデータの平均値を$\bar{y}$とする．関数$y=ax+b$が点$(\bar{x},\bar{y})$を通るとき，${\displaystyle \sum _{i=1}^5}{\{y_i-(a{x}_i+b)\}}^2$が最小となる$a\text{，}$$b$の値は，$a=-\text{タ}.\text{チツ}\text{，}$$b=\text{テ}.\text{トナ}$である．

【２】　曲線$y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$の原点$\mathrm{O}$における接線は$y=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\text{ア}}}}x$である．原点$\mathrm{O}$を通りこの接線に垂直な直線$l$は$y=\sqrt{\text{イ}}x$である．曲線$y＝{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$と直線$l$の原点$\mathrm{O}$以外の交点$\mathrm{A}$の座椋は$(\text{ウ},\text{エ}\sqrt{\text{オ}})$である．また，線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{B}$をとり，点$\mathrm{B}$を通り直線$l$に垂直な直線を$m$とし，直線$m$と曲線$y={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の共有点を点$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$が線分$\mathrm{OA}$を動くとき，線分$\mathrm{BC}$の長さの最大値は${\displaystyle \frac{1}{\text{カ}}}\sqrt{\text{キ}}$である．そのときの点$\mathrm{B}$の座標は$({\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}},{\displaystyle \frac{1}{\text{コ}}}\sqrt{\text{サ}})$てある．

【３】　$\theta$を実数とし，複素数$z=\cos \theta +i\sin \theta$を考える．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{2}{7}}\pi$のとき，

$\mathrm{l}+z+z^2$$+z^3$$+z^4$$+z^5$$+z^6=\text{ア}$

である．

(2)　$z^{49}=1$のとき，次の和$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$を考える．

$S_1=1+z+z^2+z^3$$+\cdots +z^{48}$

$S_2=1+\cos \theta +\cos (2\pi )$$+\cos (3\theta )$$+\cdots +\cos (48\theta )$

$S_3=1+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\theta }{2}}\right)+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{2\theta }{2}}\right)$$+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{3\theta }{2}}\right)$$+\cdots +{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{48\theta }{2}}\right)$

　$S_1$のとり得る値は$\text{イ}\text{，}$$\text{ウエ}$である．

　$S_2$のとり得る値は$\text{オ}\text{，}$$\text{カキ}$である．

　$S_3$のとり得る値は$\text{ク}\text{，}$${\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サ}}}$である．

【４】(1)　実数$a\text{，}$$b$を定数とし，$i$を虚数単位とする．$3$次方程式$x^3-(a^2-b)x$$-ab=0$が$-1+\sqrt{2}i$を解に持つとき，$a\text{，}$$b$の値は，

$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}$

である．

【４】(2)　整式$x^4-x^2$$+18x+9$を$x^2+3x+1$で割ったときの商は，

$x^2-\text{ウ}x+\text{エ}$

である．

【４】(3)　整式$P(x)$を$x^2+x+1\text{，}$$x-1$で割ったときの余りがそれぞれ$2x+3\text{，}$$6$であるとき，$P(x)$を$x^3-1$で割ったときの余りは，

${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}x+{\displaystyle \frac{\text{ケコ}}{\text{サ}}}$

である．

【５】　以下の空欄(あ)～(お)について，適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=e^{-x}\text{，}$$g(x)=e^{-x}|\sin x|$

と定める．ここで，$e$は$e=\underset{t\to 0}{\lim }{(1+t)}^{\frac{1}{t}}$によって定まる実数とする．

(1)　$t$を$t\geqq 0$であるような実数とする．このとき，$e^{-x}\sin x$に部分積分法を適用すれば，

${\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}$$=\text{(あ)}$$+{\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}$

となる．また，$e^{-x}\cos x$に部分積分法を適用すれば，

${\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}$$=\text{(い)}$$-{\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x}\sin x\mathit{dx}$

となる．よって，

${\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-x}\cos x\mathit{dx}=\text{(う)}$

である．

(2)　$t$を$t\geqq 0$であるような実数する．このとき，座標平面上で不等式$0\leqq x\leqq t$かつ$g(x)\leqq y\leqq f(x)$の表す部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とすると，$V(t)=\text{(え)}$である．なお，(え)の式を導く過程を解答用紙の所定の欄に書きなさい．

(3)　(2)で定めた$V(t)$に対して，$\underset{t\to \infty }{\lim }V(t)=\text{(お)}$となる．