2025　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$は$|\alpha -2i|=1\text{，}$$|\beta -2\sqrt{3}|=2$を満たす複素数とする．ただし，$i$は虚数単位である．

(a)　$|\alpha -\beta |$のとり得る値の最小値は$\text{ア}$であり，最大値は$\text{イ}$である．

　以下，$|\alpha -\beta |$が最小値をとる場合を考える．

(b)

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{オ}}}{\text{カ}}}i$

(c)

${\left({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right)}^{10}={\displaystyle \frac{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}{\text{コ}\text{サ}\text{シ}\text{ス}}}(\text{セ}-\sqrt{\text{ソ}}i)$

(d)　$\alpha \text{，}$$\beta$に対応する複素数平面上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と原点$\mathrm{O}$を通る円周上に点$\mathrm{P}$があるとき，点$\mathrm{P}$をあらわす複素数$z$は

$|z-({\displaystyle \frac{\sqrt{\text{タ}}}{\text{チ}}}+{\displaystyle \frac{\text{ツ}}{\text{テ}}}i\left)\right|=\text{ト}$

を満たす．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　白い玉と赤い玉が$2$個ずつ入った袋がある．$x_0=0$とし，以下のルールに従って$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$を順に定める．

(a)　$x_1=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$であり，$x_1=1$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$であり，$x_1=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}\text{キ}}}$である．

(b)　$x_2=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$である．

(c)　$x_3=0$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}{\text{ス}\text{セ}\text{ソ}}}$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．与えられた枠数より少ない桁の数があてはまる場合は，上位の桁を$0$として，右に詰めた数値としなさい．分数は既約分数とし，値が整数の場合は分母を$1$としなさい．根号を含む形で解答する場合は，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　関数$f(x)=x+1$と$g(x)=x^2+bx+c$を考える．ただし，$b\text{，}$$c$は定数とする．以下の問いに答えなさい．

(a)　関数$h(x)=f(x)g(x)$が$x=-1$で極大値，$x=1$で極小値をとるとき，$b=-\text{ア}\text{，}$$c=-\text{イ}$である．

(b)　関数$h(x)={\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}$が$x=0$で極小値$1$をとるとき，$b=\text{ウ}\text{，}$$c=\text{エ}$である．

(c)　関数$h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$の値域が$-1\leqq h(x)\leqq 1$であるとき，$b=\text{オ}\text{，}$$c={\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

【２】　座標平面において，点$(0,1)$を中心とし，半径が$\sqrt{10}$の円を$C_1$とする．$C_1$と$x$軸の$2$つの交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_{\mathrm{A}}\text{，}$$x_{\mathrm{B}}$とする．ただし，$x_{\mathrm{A}}<x_{\mathrm{B}}$とする．$p$を$0<p<\sqrt{10}+1$を満たす定数として，点$\mathrm{P}(0,p)$をとる．さらに，第$1$象限の点$(a,b)$を中心とし，半径が$r$の円を$C_2$とする．以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(き)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

(1)　$x_{\mathrm{A}}=\text{(あ)}$であり，$x_{\mathrm{B}}=\text{(い)}$である．

(2)　$C_2$が$C_1$に内接するとき，$r$を，$a\text{，}$$b$を用いて表すと$r=\text{(う)}$である．

(3)　$C_2$が直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BP}$の両方に接するとき，$a\text{，}$$b$を，$r\text{，}$$p$を用いて表すと$a=\text{(え)}\text{，}$$b=\text{(お)}$である．

(4)　円$C_2$が以下の条件を満たすとする．

・$C_2$は$C_1$に内接する

・$C_2$は直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BP}$の両方に接する

$r$を，$p$を用いて表すと$r=\text{(か)}$である．また，$p$を$0<p<\sqrt{10}+1$の範囲で動かすとき，$r$は$p=\text{(き)}$のとき，最大値をとる．なお，$\text{(か)}\text{．}$$\text{(き)}$を導く過程を解答用紙の所定の場所に書きなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．ただし，空欄$\text{(あ)}\text{〜}$$\text{(か)}$については適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入しなさい．

　$n=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$に対して

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\cos }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$n=2$のとき，$I_2=\text{(あ)}$である．

(2)　$n\geqq 2$のとき$I_n-{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}$を，$n$を用いて表すと，

$I_n-{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{I}_{n-2}=\text{(い)}$

である．

　また，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して

$F_n(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{1}{{(1+t^2)}^n}}\mathit{dt}$

とおく．

(3)　$F_2(1)=\text{(う)}\text{，}$$F_2(\sqrt{3})=\text{(え)}$である．

(4)　$F_4(1)=\text{(お)}\text{，}$$F_4(\sqrt{3})=\text{(か)}$である．なお，$\text{(お)}$の値を導く過程も所定の場所に書きなさい．