2025　東京理科大学　理学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で表すこととする．なお，問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(1)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sqrt{{\sin }^{3}x-{\sin }^{5}x}\mathit{dx}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で表すこととする．なお，問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(2)　座標平面上において，双曲線$C\text{：}{x}^2-y^2=1$と直線$l\text{：}y=2x+k$を考える．ただし，$k$は実数とする．

(a)　$x<0$において，$C$と$l$が交点をもつための$k$の条件は$\sqrt{\text{ウ}}\leqq k$である．また，$x<0$において，$C$と$l$が接するときの接点の座標$(x,y)$は

$(-{\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\sqrt{\text{カ}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{キ}}}{\text{ク}}})$

である．

(b)　$x<0$と$\sqrt{\text{ウ}}<k$を同時に満たすときにおいて，$C$と$l$の$2$つの交点の中点を$\mathrm{P}$とする．$\sqrt{\text{ウ}}<k$の範囲で$k$を動かすとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は$y={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}x$の$x<-{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\sqrt{\text{ス}}$の部分である．

(c)　$x<0$において，$C$と$l$が$2$つの交点${\mathrm{Q}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$をもつとする．線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の長さを$k$の式で表すと

${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2={\displaystyle \frac{\text{セ}}{\text{ソ}}}\sqrt{\text{タ}{k}^2-\text{チ}\text{ツ}}$

となる．また，線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の長さが$2$であるとき，$k={\displaystyle \frac{\text{テ}\sqrt{\text{ト}\text{ナ}}}{\text{ニ}}}$

となる．

【１】　次の(1)から(3)において，$$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求め，その数字を解答用マークシートにマークせよ．ただし，$$は$2$桁の数を表すものとする．分数は既約分数（それ以上約分できない分数）の形で表し，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で表すこととする．なお，問題文中に$\text{ア}$などが$2$度以上現れる場合，$2$度目以降は，$\text{ア}$のように網掛けで表記する．

(3)　$i$を虚数単位とし，$p\text{，}$$q$を実数とする．$3$次方程式$x^3+px+q=0$の$3$つの解を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$とする．ただし$2$重解は$2$個，$3$重解は$3$個の解と考える．

$D={(x_1-x_2)}^2{(x_1-x_3)}^2{(x_2-x_3)}^2$

とする．

(a)　$x_1=1-\sqrt{2}i$のとき，他の$2$つの解は$x_2=\text{ヌ}+\sqrt{\text{ネ}}i\text{，}$$x_3=-\text{ノ}$であり，$p=-\text{ハ}\text{，}$$q=\text{ヒ}$となる．

(b)　$x_1=1$のとき，$D$を$p$の式で表すと

$D=-\text{フ}{p}^3$$-\text{ヘ}\text{ホ}{p}^2$$-\text{マ}\text{ミ}p-\text{ム}\text{メ}$

となる．また，このとき，$x^3+px+q=0$が重解をもつための$p$の値は$-\text{モ}$と$-{\displaystyle \frac{\text{ヤ}}{\text{ユ}}}$である．

(c)　$x_1=1\text{，}$$-3\leqq p\leqq 3$とする．$D$の最大値は${\displaystyle \frac{\text{ヨ}\text{ラ}}{\text{リ}}}$であり，そのときの$p$の値は$-{\displaystyle \frac{\text{ル}}{\text{レ}}}$である．

【２】　$n$を自然数とし，$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n$から異なる$n$個を選んで適当な順序に並べたものを

$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$

とする．選ばれなかった$n$個を適当な順序に並べたものを

$b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n$

とする．以下の問いに答えよ．ただし，以下の(1)，(2}，(3)では，$a_i$および$b_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$のあらゆる取り方を考える．

(1)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i{b}_i+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^n}{(a_i-b_i)}^2$を$n$の式で表せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i{b}_i$の最大値を$n$の式で表せ．

(3)　すぺての$a_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$が奇数という条件のもとで，${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{a}_i{b}_i$の最小値を$n$の式で表せ．また，最小値を与える$a_i\text{，}$$b_i$$\text{（}i=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$に対し，

${\displaystyle \sum _{i=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_i(2n-1-b_i)}}$

を$n$の式で表せ．

【３】　表と裏に数が書かれた同じ大きさの$15$枚のコインが袋に入っている．コインの表に書かれた数を$a\text{，}$裏に書かれた数を$b$とするとき，各コインの$(a,b)$は以下である．

$(-1,-1)\text{，}$$(-1,0)\text{，}$$(-1,1)\text{，}$$(-1,2)\text{，}$$(-1,3)\text{，}$$(0,0)\text{，}$$(0,1)\text{，}$$(0,2)\text{，}$$(0,3)\text{，}$$(1,1)\text{，}$$(1,2)\text{，}$$(1,3)\text{，}$$(2,2)\text{，}$$(2,3)\text{，}$$(3,3)$

袋から$n$枚のコインを同時に取り出し投げる．出た面に書かれた$n$個の数の和を$s$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=2$のとき，$s=6$となる確率を求めよ．

(2)　$n=2$のとき，$s=0$となる確率を求めよ．

(3)　$n=3$のとき，$s=-1$となる確率を求めよ．

(4)　$n=3$のとき，$s=3$となる確率を求めよ．