2025　東京理科大学　創域理工学部B方式2月6日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ワ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(1)　空間に$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=1$

を満たすとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つも垂直であるとする．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とすると，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OG}}\right|={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\sqrt{\text{ウ}}$

である．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$のなす角を$\theta$とすると，

$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\text{エ}}{\text{オ}}}\sqrt{\text{カ}}$

である．また，三角形$\mathrm{OGM}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}$である．

　次に$k$を実数とし，点$\mathrm{P}$は，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+k\overrightarrow{\mathrm{OC}}$

を満たすとする．点$\mathrm{P}$が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，$k$の値は${\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ワ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(2)　関数$f(\theta )$を

$f(\theta )=-3\cos 2\theta$$+3\sqrt{3}\sin 2\theta$$+6(\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta )-5$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

によって定める．$f(\theta )$の最大値と最小値を求めたい．

$\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$$=\text{サ}\sin (\theta -{\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\pi )$

となる．ただし，$0\leqq {\displaystyle \frac{\text{シ}}{\text{ス}}}\pi <2\pi$とする．$t=\sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta$とおくと，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$t$の最小値は$-\text{セ}$で，$t$の最大値は$\text{ソ}$である．また

$f(\theta )=-\text{タ}{t}^2+\text{チ}t+\text{ツ}$

となる．よって，関数$f(\theta )$は，$\theta ={\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\pi$のとき最大値$\text{ナ}$をとり，$\theta =-{\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌ}}}\pi$のとき最小値$-\text{ネ}\text{ノ}$をとる．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{ワ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．なお，$\text{シ}$などは既出の$\text{シ}$などを表す．

(3)　$i$を虚数単位とする．複素数$z$の共役複素数を$\bar{z}$で表す．

　複素数$z$が方程式

$|2iz+15|=|3z-5i|$$\cdots$(＊)

を満たすとする．両辺を$2$乗した式を考え，整理すると

$z\bar{z}-\text{ハ}iz$$+\text{ヒ}i\bar{z}$$-\text{フ}\text{ヘ}=0$

となるので，$z$は$-\text{ホ}i$を中心とする半径が$\text{マ}$の円の上にある点となる．

　(＊)を満たし，かつ

$|z-4|=|z+4+6i|$

を満たす$z$は，

$z=-{\displaystyle \frac{\text{ミ}\text{ム}}{\text{メ}}}+{\displaystyle \frac{\text{モ}\text{ヤ}}{\text{ユ}}}i$と$z={\displaystyle \frac{\text{ミ}\text{ム}}{\text{メ}}}-{\displaystyle \frac{\text{ヨ}\text{ラ}}{\text{リ}}}i$

である．また，$z$が(＊)を満たしながら動くとき，$|z+10|$の最大値は$\text{ル}+\sqrt{\text{レ}\text{ロ}\text{ワ}}$である．

【２】　$t$を実数，$s$を負の実数とする．座標平面上で$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2$と$C_2\text{：}y=-{(x-t)}^2+s$を考える．

　正の実数$a$に対し，$C_1$上の点$(a,a^2)$における$C_1$の接線$l$が$C_2$にも接するとする．

(1)　接線$l$の傾き$2a$を，$t$と$s$を用いて表せ．

　$s=-(t^2+t+{\displaystyle \frac{1}{2}})$とするとき，接線$l$の傾きは$t$の関数となる．この関数を$f(t)$とおく．

(2)　$f(t)$の導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

(3)　$t$が実数の範囲で動くとき，$f(t)$が最小となる$t$の値を求めよ．

【３】　$n$を自然数とする．関数$f_n(x)$を

$f_n(x)=x(\log x-n\log 3)$$\text{（}x>0\text{）}$

と定める．ただし，$\log$は自然対数とする．方程式$f_n(x)=0$の解を$a_n$とする$\text{（}{a}_n>0\text{）．}$

(1)　$a_n$を，$n$を用いて表せ．

　$a_0=1$と定める．自然数$n$に対して，

$I_n={\displaystyle {\int }_{a_{n-1}}^{a_n}}{f}_n(x)\mathit{dx}$

とおく．

(2)　$I_1$の値を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$I_{n+1}$を，$I_n$を用いて表せ．（必要ならば，$x=3t$として置換積分法を利用してもよい．）

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{I_n}{{10}^{n-1}}}$の和を求めよ．