2025　東京理科大学　創域理工学部B方式2月3日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(1)　空間に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は条件

$\left|\overrightarrow{a}\right|=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=1\text{，}$$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$

を満たしているとする．このとき，$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ア}$となるから，$\mathrm{▵OAB}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{イ}}{\text{ウ}}}$となる．

　さらに，点$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくと

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|$$=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|$$=|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=1$

が成り立つとする．このとき

$\left|\overrightarrow{c}\right|=\text{エ}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-\text{キ}$

である．

　次に，点$\mathrm{C}$から$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る平面$\mathrm{OAB}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OAB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}\sqrt{\text{コ}}$となるので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は${\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}\text{ス}}}\sqrt{\text{セ}}$である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数とし，関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$が次の$3$条件

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\sin x\mathit{dx}=-4\text{，}$

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\cos x\mathit{dx}=2{\pi }^2\text{，}$

$f(1)=10$

を満たしている．まず，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよう．

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}x\cos x\mathit{dx}$$={\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{x}^2\sin x\mathit{dx}=\text{ソ}$

である．また

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}x\sin x\mathit{dx}=\text{タ}$

となり，これを用いて

${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}{x}^2\cos x\mathit{dx}={\displaystyle \frac{{\pi }^{\text{チ}}}{\text{ツ}}}-\text{テ}$

となる．したがって，$a=\text{ト}\text{，}$$b=-\text{ナ}\text{，}$$c=\text{ニ}$となる．この関数$f(x)$に対して，$\theta$が

$f(\sin \theta )=f(\cos \theta )\text{，}$$0<\theta <\pi$

を満たすとき，

$\cos \theta -\sin \theta =\text{ヌ}$または$\cos \theta +\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{ネ}}{\text{ノ}}}$

であり，$\sin \theta >0$に注意すると$\sin \theta$は

${\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}\sqrt{\text{フ}}$または${\displaystyle \frac{\text{ヘ}+\sqrt{\text{ホ}}}{\text{マ}}}$

である．

【１】　次の文章中の$\text{ア}$から$\text{リ}$までに当てはまる数字$0\text{〜}$$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，分数は既約分数として表しなさい．また，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい．

(3)　正六角形${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_4{\mathrm{P}}_5{\mathrm{P}}_6$がある（図１）．$1$個のサイコロを$4$回投げて，出た目を順に$i\text{，}$$j\text{，}$$k\text{，}$$l$とする．

(a)　$i\text{，}$$j\text{，}$$k\text{，}$$l$がどの$2$つも異なる確率は${\displaystyle \frac{\text{ミ}}{\text{ム}\text{メ}}}$である．

(b)　$i\text{，}$$j\text{，}$$k\text{，}$$l$がどの$2$つも異なり，かつ，線分${\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_j$と線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_l$が交わる確率は${\displaystyle \frac{\text{モ}}{\text{ヤ}\text{ユ}}}$である．

（例えば，線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_4$と線分${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_5$は交わる（図２）．線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と線分${\mathrm{P}}_3{\mathrm{P}}_5$は交わらない（図３）．）

(c)　$i\text{，}$$j\text{，}$$k\text{，}$$l$がどの$2$つも異なり，かつ，線分${\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_j$と線分${\mathrm{P}}_k{\mathrm{P}}_l$が平行である確率は${\displaystyle \frac{\text{ヨ}}{\text{ラ}\text{リ}}}$である．

【２】　$e$を自然対数の底とし，$\log$は自然対数とする．

　座標平面上の曲線$y=e^x$を$C_1$とする．実数$t$に対し，$C_1$上の点を$\mathrm{P}(t,e^t)$とする．以下の条件(a)，(b)，(c)を満たす円を$C_2$とする．

(a)　円の中心$\mathrm{Q}(X,Y)$は$0<Y<e^X$を満たす．

(b)　円$C_2$は$x$軸と接する．

(c)　点$\mathrm{P}$は円$C_2$上にあり，点$\mathrm{P}$において$C_1$と$C_2$は共通の接線$l$をもつ．

次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を，$t$を用いて表せ．

(2)　$k$と$m$は実数で，$k$は正であり，ベクトル$k(m,-1)$は接線$l$に垂直な単位ベクトルである．$k$と$m$を，$t$を用いて表せ．

(3)　円$C_2$の面積を$S$とおく．極限$\underset{t\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S}{X-t}}$を求めよ．$\text{（}S$と$X$は$t$の関数である．）

　以下，$t={\displaystyle \frac{1}{2}}\log 3$とする．（このとき，円$C_2$は$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$の範囲に含まれている．このことは示さなくてよい．）

　円$C_2$と$x$軸との接点を$\mathrm{R}$とし，円$C_2$の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{R}$を結ぶ弧のうち短い方を$C_3$とする．

(4)　弧$C_3$の中心角$\mathrm{\angle PQR}$を求めよ．

(5)　$x$軸，$y$軸，曲線$C_1\text{，}$および，弧$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$e$を自然対数の底とする．関数$f(x)$を次で定める．

$f(x)=x^3{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

座標平面上の曲線$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$を$C$とおく．

(1)　$f(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．

(2)　座標平面の$x>0$の範囲で，曲線$C$の変曲点の座標をすべて求めよ．

(3)　$a$を正の実数とし，曲線$C$上の点$(a,f(a))$における接線$l$が原点を通るとする．

(a)　$a$の値を求めよ．

(b)　曲線$C$と接線$l$で囲まれる部分の面積を求めよ．