2025　東京理科大学　経営学部B方式2月2日実施MathJax

【１】　文章中の$\text{ア}$から$\text{コ}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$，$$は$3\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数である．

　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のとき，$7^n$を$10$で割ったときの余りのとり得る値は$7\text{，}$$9\text{，}$$3\text{，}$$1$の$4$通りであり，それらの値の合計は$20$である．

(1)　次が成り立つ．

・$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$のとき，$2^n$を$31$で割ったときの余りのとり得る値は$\text{ア}$通りであり，それらの値の合計は$\text{イ}\text{ウ}$である．

・$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のとき，$2^n$を$33$で割ったときの余りのとり得る値は$\text{エ}\text{オ}$通りであり，それらの値の合計は$\text{カ}\text{キ}\text{ク}$である．

(2)　$k$を$1$以上の整数とする．次が成り立つ．

・$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のとき，$2^n$を$2^k-1$で割ったときの余りのとり得る値の合計を$s_1$とおく．このとき，$s_1>400$を満たす最小の整数$k$は$\text{ケ}$である．

・$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$のとき，$2^n$を$2^k+1$で割ったときの余りのとり得る値の合計を$s_2$とおく．このとき，$s_2>400$を満たす最小の整数$k$は$\text{コ}$である．

【２】　不等式

${\log }_a(x^2-2x)$$\leqq {\log }_{\frac{a}{2}}(x^2-2x)-{\log }_{\frac{a}{2}}2$

を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ただし，$a$は$1\text{，}$$2$に等しくない正の数とする．

【３】　文章中の$\text{ア}$から$\text{ム}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．$\text{ア}$などが繰り返し現れる場合は，二度目以降は$\text{ア}$などのように網掛けで表記する．

(1)　$2$人のプレイヤー$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，次の試行を繰り返す．始めは$\mathrm{A}$に手番があるとする．手番のプレイヤーが$1$個のサイコロを$1$回投げる．出た目が$6$なら，他方のプレイヤーに手番が移る．出た目が$6$以外なら，手番は変わらない．

　自然数$n$に刈して，$n$回の試行のあとに$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に手番がある確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$とすると，

$a_2={\displaystyle \frac{\text{ア}\text{イ}}{\text{ウ}\text{エ}}}$

である．また，$a_{n+1}$を$a_n\text{，}$$b_n$で表すと，

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}{a}_n+{\displaystyle \frac{\text{キ}}{\text{ク}}}{b}_n$

となる．よって，数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$の一般項は

$a_n={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\right)}^{n-1}\text{，}$

$b_n={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}-{\displaystyle \frac{\text{チ}}{\text{ツ}}}{\left({\displaystyle \frac{\text{ス}}{\text{セ}}}\right)}^{n-1}$

である．また，$|a_n-b_n|<{\displaystyle \frac{1}{10}}$を満たす最小の整数$n$は$\text{テ}$である．

【３】　文章中の$\text{ア}$から$\text{ム}$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．ただし，$$は$1\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$，$$は$2\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$の数であり，分数は既約分数として表しなさい．また，根号を含む解答では，根号の中に現れる自然数は最小になる形で答えなさい．$\text{ア}$などが繰り返し現れる場合は，二度目以降は$\text{ア}$などのように網掛けで表記する．

(2)　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$f(x)=x+|x-2|\text{，}$$g(x)=-{(x-m)}^2+m+4$

とする．$m$を$0$以上の実数とする．

・$f(2)=g(2)$が成立するときの$m$の値は

$m={\displaystyle \frac{\text{ト}\pm \sqrt{\text{ナ}\text{ニ}}}{2}}$

である．

・$1\leqq m\leqq 4$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$とおくと，

$\alpha =m-\sqrt{m+\text{ヌ}}\text{，}$$\beta =m-\text{ネ}+\sqrt{\text{ノ}-m}$

であり，$\beta -\alpha$が最大となる$m$は ${\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$である．

・$m={\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$のとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれる部分の面積は

$-{\displaystyle \frac{\text{フ}\text{ヘ}}{\text{ホ}\text{マ}}}+\text{ミ}\sqrt{\text{ム}}$

である．

【１】　数が$1$つ書かれたカードが$5$枚ずつ入った袋が$4$つあり，それらの名前を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とする．それぞれの袋に入っているカードに書かれた数は以下の通りである．

$\mathrm{A}\text{：}1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$

$\mathrm{B}\text{：}6\text{，}7\text{，}8\text{，}9\text{，}10$

$\mathrm{C}\text{：}1\text{，}3\text{，}5\text{，}7\text{，}9$

$\mathrm{D}\text{：}2\text{，}4\text{，}6\text{，}8\text{，}10$

$4$つの袋からそれぞれ$1$枚ずつ，計$4$枚のカードを取り出すという試行を考える．それぞれの袋について，どのカードが取り出されるかは同様に確からしいものとする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$から取り出されたカードに書かれている数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えはすべて既約分数として表しなさい．

(1)　$a+b+c+d$が偶数である確率を求めなさい．

(2)　$a+b+c+d$が$13$未満である確率を求めなさい．

(3)　$a+b+c+d$が$12$の倍数である確率を求めなさい．

(4)　$a+b+c+d$を$6$で割ったとき，余りが$3$である確率を求めなさい．

【２】　$d$は正の定数とし，数列$\{a_n\}$は条件

$a_1>0\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+b_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．ただし，$b_n$は関数

$f(x)=a_{n}x-d{x}^2$$\text{（}x\leqq 1\text{）}$

の最大値を与える$x$の値である．このとき，以下の問いなさい．

(1)　$b_n$の値を，$a_n$と$d$を用いて表しなさい．

(2)　$k$を自然数とする．$k$以下のすべての自然数$n$について$b_n=1$が成立すると仮定するとき，$a_{k+1}$の値を$a_1$と$k$を用いて表しなさい．

(3)　以下では，$d=1$であるとする．

(a)　$k$を自然数とする．$b_k<1$であるならば，$b_{k+1}<1$であることを示しなさい．

(b)　$k$を自然数とする．$b_k=1$であるならば，$b_m<1$となる$k+1$以上の自然数$m$が存在することを示しなさい．

(c)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．

【３】　$a$を実数とする．座標平面上で$y=\sqrt{-x^4+2x^2+a}$の表す曲線を$C$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$x$の方程式$-x^4+2x^2$$+a=0$が$3$つ以上の異なる実数解を持つような$a$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$a$が(1)で得られた範囲の値をとるとき，曲線$C$の第$1$象限にある部分の概形を描きなさい．

(3)　$a=0$とする．曲線$C$と$x$軸によって囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V_1$とし，$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V_2$とする．${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}$の値を求めなさい．