2025　上智大学　推薦理工学部MathJax

【１】(1)　すべての自然数$n$に対して等式

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{k}{2^k}}=2-{\displaystyle \frac{n+2}{2^n}}$

が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

【１】(2)　$xy$平面上で，点$\mathrm{P}$が円$C\text{：}{x}^2+y^2$$-2x$$-4y$$+1=0$上を，点$\mathrm{Q}$が直線$l\text{：}3x-4y$$-12=0$上を，それぞれ動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値，およびそのときの点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【２】　関数

$y=x{e}^x$

のグラフを$C$とする．

(1)　グラフ$C$の概形をかけ．関数の極値・グラフの変曲点など，グラフの特徴的な性質がわかるようにすること．

(2)　$C$上の点$(a,a{e}^a)$における$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　$a<-1$のとき，$x$軸，$y$軸，$l$で囲まれる三角形の面積$S$を求めよ．