2025　上智大学　理工学部2月11日実施MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+2}{a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　すべての自然数$n$に対し，$a_n\geqq 1$であることを証明せよ．

(2)　すべての自然数$n$に対し，$a_n^2-2$と$a_{n+1}^2-2$が異符号であることを証明せよ．

(3)　すべての自然数$n$に対し，

$|a_{n+1}^2-2|\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}|a_n^2-2|$

であることを証明せよ．

(4)　不等式

$2-{10}^{-6}\leqq a_{11}^2\leqq 2$

が成り立つことを証明せよ．

【２】(1)　$y=\tan x$の$1$次の近似式を用いて$\tan 43.5\mathrm{°}$の近似値を求める．小数第$3$位を四捨五入すると，

$\tan 43.5\mathrm{°}\fallingdotseq \text{ア}.\text{イ}$

である．ただし，$\pi =3.14$として用いてよい．

【２】(2)　$a$を正の実数とする．実数からなる集合$A\text{，}$$B$を次で定める．

$A=\{x|\left|x\right|<a\}$

$B=\{x|x^2-6x-19\leqq 0\}$

(ⅰ)　$A\subset B$となる必要十分条件は，$a\text{あ}\text{ウ}$$+\text{エ}\sqrt{\text{オ}}$である．

(ⅱ)　$A\supset B$となる必要十分条件は，$a\text{い}\text{カ}$$+\text{キ}\sqrt{\text{ク}}$である．

【２】(3)　$a$を実数とする．方程式$z^3-(3-2\sqrt{3})z^2$$+az$$+10\sqrt{3}=5$の$3$つの複素数解を複素数平面上に表す．その$3$点を結ぶ図形が$1$辺の長さが$4$の正三角形となるとき，この$3$点を虚部の大きい順に$\mathrm{A}(z_1)\text{，}$$\mathrm{B}(z_2)\text{，}$$\mathrm{C}(z_3)$とする．ただし，$z_2$の実部は$z_1$の実部より小さい．このとき，

$z_1=\text{ケ}+\text{コ}i\text{，}$

$z_2=(\text{サ}+\text{シ}\sqrt{\text{ス}})+\text{セ}i\text{，}$

$z_3=\text{ソ}+\text{タ}i$

である．

　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{C}$を中心として$\mathrm{A}$を角$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{D}$とする．ただし，$0\leqq \theta <\pi$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{M}$が同一直線上にあるとき，$\mathrm{D}$を表す複素数は$\text{チ}+(\text{ツ}+\text{テ}\sqrt{\text{ト}})i$である．

(ⅱ)　$\mathrm{\angle MCD}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとき，$\mathrm{D}$を表す複素数は$\text{う}+\text{え}i$である．

【３】　座標空間内において，

$0\leqq x\leqq 1\text{，}$$0\leqq y\leqq 1\text{，}$$z=0$

の表す$xy$平面上の領域に，不透明で厚みの無視できる$1$辺の長さが$1$の正方形の板$P$が置いてあり，点$\mathrm{L}(0,0,2)$に点光源がある．板$P$を，$x$軸を回転軸として，$z$座標が正の側に角$\theta$だけ回転させたとき，$xy$平面上で板$P$の影になる領域を$D$とする．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　$D$の形状は$\text{お}$である．

(2)　$D$に属する点の$y$座標の最大値を$a$とする．$a$は$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{ナ}}{\text{ニ}}}$のとき最大となる．このとき$a={\displaystyle \frac{\text{ヌ}}{\text{ネ}}}\sqrt{\text{ノ}}$であり，原点から最も遠い$D$上の点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\text{ハ}}{\text{ヒ}}}$である．

(3)　$D$の面積は$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\text{フ}}{\text{ヘ}}}$のとき最大となる．このとき$D$の面積は${\displaystyle \frac{\text{ホ}}{\text{マ}}}\sqrt{\text{ミ}}$である．