2025　上智大学　経済学部2月9日実施MathJax

【１】(1)　座標平面上で，不等式$x^2-y\leqq 0$の表す領域を$D_1$とし，点$(x,y)$が領域$D_1$内を動くとき，実数$a$に対して$ax+y$のとる値の最小値を$m$とする．

(ⅰ)　$a=-1$のとき，$m={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(ⅱ)　$m$を$a$の式で表すと$m=\text{あ}$である．

　$\text{あ}$は記述式解答欄に答えのみを記せ．

(ⅲ)　$a>0$のとき，最小値$m$をとる点の座標は，$m$を用いて表すと，

$(\text{い},\text{う})$

である．

　$\text{い}\text{，}$$\text{う}$は記述式解答欄にそれぞれ答えのみを記せ．

【１】(2)　$f(x)$を$x$の$2$次関数とし，座標平面上で不等式$f(x)-y\leqq 0$の表す領域を$D_2$とする．点$(x,y)$が領域$D_2$内を動くとき，実数$b$に対して$bx+y$のとる値の最小値が$b$を用いて

$-{\displaystyle \frac{b^2}{8}}+b+3$

と表されるとする．

(ⅰ)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの頂点は$(\text{ウ},\text{エ})$である．

(ⅱ)　$f(x)=\text{オ}{x}^2+\text{カ}x+\text{キ}$である．

【２】　右図において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{OB}=6\text{，}$$\mathrm{AB}=7$とする．$\mathrm{▵OAB}$の頂点$\mathrm{O}$における内角の二等分線と，頂点$\mathrm{A}$における外角の二等分線の交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{ク}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと

$\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{\text{ケ}}{\text{コ}}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{\text{サ}}{\text{シ}}}\overrightarrow{b}$

であり，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\text{ス}\sqrt{\text{セ}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{\text{ソ}}{\text{タ}}}\overrightarrow{a}$である．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|=\text{チ}\sqrt{\text{ツ}}$である．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は${\displaystyle \frac{\text{テ}}{\text{ト}}}\sqrt{\text{ナ}}$である．

【３】(1)　$a\text{，}$$b$を実数とする．$\text{え}\text{，}$$\text{お}\text{，}$$\text{か}$には選択肢(a)〜(d)の中から正しいものをマークせよ．

(ⅰ)　$\left|a\right|+\left|b\right|<3$は$a^2+b^2<4$であるための$\text{え}\text{．}$

(ⅱ)　$a+b$が有理数であることは，$a^2+b^2$が有理数であるための$\text{お}\text{．}$

(ⅲ)　$|a-b|<2$は$x$の方程式

${\log }_2|x-a|+{\log }_2|x-b|=1$

が異なる$2$つの実数解をもつための$\text{か}\text{．}$

【３】(2)　自然数$n$と整数$k=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$に対して，座標空間の点

$A_k(\cos {\displaystyle \frac{2k}{n}}\pi ,\sin {\displaystyle \frac{2k}{n}}\pi ,{\displaystyle \frac{2k}{n}})$

を考える．線分${\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{A}}_k$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n\text{）}$の長さの和を

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{A}}_k$

とすると，

$S_2=\text{ニ}\sqrt{\text{ヌ}}$

$S_3=\sqrt{\text{ネ}}$

$S_6=\text{ノ}\sqrt{\text{ハ}}$

である．

【３】(3)　$12$で割ると$5$余り，$29$で割ると$8$余る$1000$未満の自然数のうち最小のものは$\text{ヒ}\text{，}$最大のものは$\text{フ}$である．